Analytic Geometry - Mathematics for Computer Graphics - page 175

u 3 v

R

v

w

T

u

P

S

Fig. 10.34. The vectors used to determine a plane equation from three points R, S
and T.

We begin with

i j k

u × v = x u y u z u

x v y v z v

As w is perpendicular to u × v

x w y w z w

w · ( u × v )= x u y u z u =0

x v y v z v

Expanding the determinant we obtain
x w + y w + z w

y u z u z u x u x u y u

=0

y v z v z v x v x v y v

which becomes

x R ) y R )

y S − y R z S − z R z S − z R x S − x R

( x − +( y − +( z − z R )

y T − y R z T − z R z T − z R x T − x R

x S − x R y S − y R

× =0

x T − x R y T − y R

This can be arranged in the form ax + by + cz + d =0
where

a = b =

y S − y R z S − z R z S − z R x S − x R

y T − y R z T − z R z T − z R x T − x R

c =

x S − x R y S − y R

d = − ( ax R + by R + cz R )

x T − x R y T − y R

or

1 y R z R x R 1 z R x R y R 1

a = 1 y S z S b = x S 1 z S c = x S y S 1

1 y T z T x T 1 z T x T y T 1

d = − ( ax R + by R + cz R )