Graphics Reference
In-Depth Information
Eliminating the
b
j
from equations (11.108) and (11.109) leads to the system of
equations
(
)
DD
+
pq qq
=
a
+
b
+
g
,
(11.110)
i
-
1
i
i
i
i
-
1
i
i
i
i
+
1
where
2
()
++
D
DDD
DD D
DDD
i
a
=
,
i
i
-
2
i
-
1
i
(
)
++
+
(
)
+
DDD
DDD
+
i
i
-
2
i
-
1
i
-
1
i
i
+
1
b
=
,
and
i
++
i
-
2
i
-
1
i
i
-
1
i
i
+
1
2
( )
++
D
DDD
i
-
1
g
=
.
i
i
-
1
i
i
+
1
After an arbitrary choice of points
b
1
and
b
3n-1
, equation (11.110) can be represented
in the following matrix form:
100
q
q
b
r
Ê
ˆ
Ê
ˆ
Ê
ˆ
0
1
Á
Á
Á
Á
Á
˜
˜
˜
˜
˜
Á
Á
Á
Á
Á
˜
˜
˜
˜
˜
Á
Á
Á
Á
Á
˜
˜
˜
˜
˜
abg
0
111
1
1
O
M
=
M
,
(11.111)
0
ab
g
q
q
r
b
n
-
1
n
-
1
n
-
1
n
-
1
n
-
1
Ë
¯
Ë
¯
Ë
¯
0
0
1
n
31
n
-
where
r
i
= (D
i-1
+ D
i
)
p
i
. Setting
q
-1
=
p
0
and
q
n+1
=
p
n
completes the definition of
the
q
i
.
In the special case where the knots are uniformly spaced, the system (11.111)
becomes
100
1
q
q
q
b
p
p
Ê
ˆ
Ê
ˆ
Ê
ˆ
0
1
Á
Á
Á
Á
Á
Á
Á
Á
3
2
7
2
˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
Á
Á
Á
Á
Á
Á
Á
Á
˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
Á
Á
Á
Á
˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
0
6
6
1
1
0141
2
2
O
M
=
M
.
(11.112)
Á
Á
Á
Á
1410
q
q
q
6
6
p
p
b
n
-
2
n
-
2
7
2
3
2
0
0 1
0001
n
-
1
n
-
1
Ë
¯
Ë
¯
Ë
¯
n
31
n
-
In the other interesting case of a closed curve, we do not need the last point
p
n
, and
matrix equation (11.111) becomes
