Flexural Member - Theory of Nonlinear Structural Analysis - page 133

2
4

3
5

4+ χ EI c

L c

2 − χ

1+

EI c
L c

6
1+

EI c
L c

0 0 0 0 − 0

θ 0 1

1+ χ χ χ

2 − χ

1+

EI c
L c

4+ χ EI c

L c

6
1+

EI c
L c

0 0 0 0 − 0

θ 0 2

χ 1+ χ χ

4+ χ EI c

L c

− χ
1+

2 EI c

L c 00 0

6
1+

EI c
L c

0 0 −

θ 0 3

1+ χ χ χ

2− χ
1+ χ

EI c
L c

4+ χ
1+ χ

EI c
L c 00 0

6
1+ χ

EI c
L c

0 0 −

θ 0 4

K 00 =

4 EI b
L b

2 EI b
L b

0 0 0 0 0 0

θ 0 5

2 EI b
L b

4 EI b
L b

θ 0 6 0 0 0 0 0 0

6
1+

EI c
L c −

6
1+

EI c
L c

12
1+

EI c
L c

− 0 0 0 0 0

τ 0 7

χ χ χ

6
1+ χ

EI c
L c −

6
1+ χ

EI c
L c

00 0 12
1+ χ

EI c
L c

0 0 −

τ 0 8

ð4 : 72Þ

Substituting the above stiffness matrices K , K 0 , and K 00 into the governing equation shown in
Eq. (4.62) gives:

12 EI c 12 EI c 6 EI c 6 EI c 6 EI c 6 EI c 6 EI c 6 EI c 12 EI c 12 EI c

x 1 F 1

+ − − − − − − 0 0

3 3 2 2 2 2 3 3

1+ χ L c 1 + χ L c 1 + χ L

2

1+ χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c

2

1 + χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c

c

6 EI c 4+ χ EI c 4 EI b 2 EI b 2 − χ EI c 4 + χ EI c 4 EI b 2 EI 6 EI c

− + 0 0 − 0 x 2 F 2

b

2

1+ χ + χ + χ + χ

2

1+χ L c L c L b L b 1 L c 1 L c L b L b 1 L c

6
1+ χ

EI c 2 EI b 4+ χ EI c 4 EI b 2 − χ EI c 4 + χ EI c 2 EI 4 EI 6 EI c

− + 0 0

b b

0 − x 3 F 3

L c

2

L b 1+ χ L c L b 1 + χ L c 1 + χ L c L b L b 1 + χ L c

2

6 EI c 2− χ EI c 4

+ χ

EI c 2

− χ

EI c 6 EI c

′′
θ 1
′′

− 0 0 0 0 0 − 0 m 1

2

1 + χ L c

2

1 + χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c

6 EI 4 + χ EI c 2 − χ EI c 4 + χ EI c 6 EI c

−

c

0 0 0 0 0 − 0 θ m 2

2 2 2

1 + χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c

6 EI c 2 − χ EI c 4 + χ EI c 2 − χ EI c 6 EI c

− 0 0 0 0 0 0 − ′′

θ 3
′′

= m 3

+ χ

2

+ χ + χ + χ + χ

2

1 L c 1 L c 1 L c 1 L c 1 L c

6 EI 4 + χ EI c 2 − χ EI c 4 + χ EI c 6 EI c

−

c

0 0 0 0 0 0 −

θ m 4

1 + χ L c

2

1 + χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c

2

4

4 EI b 2 EI b 4 EI b 2 EI b

0 0 0 0 0 0 0 ′′

θ m 5

L b L b L b L b

5

2 EI b 4 EI b 2 EI b 4 EI b

0 0 0 0 0 0 0 ′′

θ m 6

L b L b L b L b

6

12 EI c

L c

6 EI c 6 EI c 6 EI c 12 EI c

− 0 − − 0 0 0 0 0

′′
τ 7
′′
τ 8

V 7

+ χ

3 2 2 2 3

1 1 + χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c 1 + χ L c

12 EI 6 EI c 6 EI 6 EI c 12 EI

c

0 − 0 0 −

c

− 0 0 0

c

V 8

1 + χ L c

3

1 + χ L c

2

1 + χ L

2

1 + χ L c

2

1 + χ L c

3

c

ð4 : 73Þ

Then, Eq. (4.73) can be used for the nonlinear static analysis of the one-story one-bay RC
frame. In order to reduce the size of the problem, the procedure of static condensation expressed
in Section 2.6 can also be used here.