The Basic Theory - Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography - page 67

For the rest of this section, assume R is a ring satisfying 1 and 2. An

elliptic curve E over R is given by a homogeneous equation
y 2 z = x 3 + Axz 2 + Bz 3

R × . Define
E ( R )= { ( x : y : z ) ∈ P 2 ( R ) | y 2 z = x 3 + Axz 2 + Bz 3

R such that 4 A 3 +27 B 2 with A, B ∈ ∈

}.

The addition law is defined in essentially the same manner as in Section 2.2,
but the formulas needed are significantly more complicated. To make a long
story short (maybe not so short), the answer is the following.

GROUP LAW
Let ( x i : y i : z i )

∈ E ( R ) for i =1 , 2 .Cons der the follow ing three setsof

equ ations:

I.
x 3 =( x 1 y 2 − x 2 y 1 )( y 1 z 2 + y 2 z 1 )+( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) y 1 y 2
− A ( x 1 z 2 + x 2 z 1 )( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) − 3 B ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) z 1 z 2

y 3 =

− 3 x 1 x 2 ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) − y 1 y 2 ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) − A ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) z 1 z 2

+ A ( x 1 z 2 + x 2 z 1 )( y 1 z 2 − y 2 z 1 )+3 B ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) z 1 z 2
z 3 =3 x 1 x 2 ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) − ( y 1 z 2 + y 2 z 1 )( y 1 z 2 − y 2 z 1 )
+ A ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) z 1 z 2

II.
x 3 = y 1 y 2 ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) − Ax 1 x 2 ( y 1 z 2 + y 2 z 1 )

− A ( x 1 y 2 + x 2 y 1 )( x 1 z 2 + x 2 z 1 ) − 3 B ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z 1 z 2

3 B ( x 1 z 2 + x 2 z 1 )( y 1 z 2 + y 2 z 1 )+ A 2 ( y 1 z 2 + y 2 z 1 ) z 1 z 2
y 3 = y 1 y 2 +3 Ax 1 x 2 +9 Bx 1 x 2 ( x 1 z 2 + x 2 z 1 )
−A 2 x 1 z 2 ( x 1 z 2 +2 x 2 z 1 ) − A 2 x 2 z 1 (2 x 1 z 2 + x 2 z 1 )
− 3 ABz 1 z 2 ( x 1 z 2 + x 2 z 1 ) − ( A 3 +9 B 2 ) z 1 z 2

−

z 3 =3 x 1 x 2 ( x 1 y 2 + x 2 y 1 )+ y 1 y 2 ( y 1 z 2 + y 2 z 1 )+ A ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z 1 z 2

+ A ( x 1 z 2 + x 2 z 1 )( y 1 z 2 + y 2 z 1 )+3 B ( y 1 z 2 + y 2 z 1 ) z 1 z 2

III.
x 3 =( x 1 y 2 + x 2 y 1 )( x 1 y 2 − x 2 y 1 )+ Ax 1 x 2 ( x 1 z 2 − x 2 z 1 )
+3 B ( x 1 z 2 + x 2 z 1 )( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) − A 2 ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) z 1 z 2

y

=( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) y 1 y 2 − 3 Ax 1 x 2 ( y 1 z 2 − y 2 z 1 )

3

+ A ( x 1 y 2 + x 2 y 1 )( x 1 z 2 − x 2 y 1 ) z 1 z 2

− 3 B ( x 1 z 2 + x 2 z 1 )( y 1 z 2 − y 2 z 1 )+ A 2 ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) z 1 z 2

x 2 z 1 )+3 B ( x 1 y 2 −