Cryptography Reference
In-Depth Information
(a)
ist eine Äquivalenzrelation.
(b) Es existiert q mit
|
G
|
=
q für alle G
∈G
.
∈G
[
]=
{
∈G
}
(c) Für alle G
sei
G
H
;
G
H
die Parallelklasse von G, dann ist
|
[
G
]
|
=
q.
q
2
.
(d)
|
K
|
=
∈
=
|{
∈G
∈
}|
=
|G
| ≤
+
(e) Zu a
K ist r
G
;
a
G
/
q
1
unabhängig von a.
(f)
Ist
(
K
,
G
)
eine affine Ebene, so gilt r
=
q
+
1
.
∈G
Beweis.
(a) Offenbar ist
reflexiv und symmetrisch. Es seien
G
,
H
,
L
,
G
H
,
H
L
und
G
∩
L
= ∅
. Für
a
∈
G
∩
L
erhalten wir
G
=
{
a
H
}
=
L
. Daher ist
transitiv.
(b) Es seien
G
,
H
∈G
. Im Fall
G
=
H
gilt natürlich
|
G
|
=
|
H
|
. Wir werden a
lso
=
∈
∈
\
=
ab jetzt
G
H
annehmen. Dann gibt es
a
G
und
b
H
G
, und für
L
a
,
b
gilt
L
∦
G
,
H
. Die Abbildung
π
:
G
→
H
,
a
→{
a
L
}∩
H
ist bijektiv. In der Tat
→{
}∩
|
=
|
|
=
ist die Inverse durch
b
b
L
G
gegeben. Daher gilt
|
G
H
:
q
, und
alle Geraden haben dieselbe Anzahl von Elementen.
(c) Es sei
H
∈G
mit
G
∦
H
. Die Existenz ergibt sich aus (A3)'. Die Abbildung
→
[
]
→{
}
H
G
,
x
x
G
ist offenbar wohldefiniert und besitzt die Umkehr-
abbildung
besitzt genau einen
Schnittpunkt mit
H
. Daher sind die beiden Abbildungen bijektiv und mit (b) folgt
die Behauptung.
(d) Das Parallelenaxiom besagt, dass
[
G
]
→
H
,
L
→
L
∩
H
, denn jede Gerade aus
[
G
]
=
K
H
.
H
∈
[
G
]
Wegen (a) ist diese Vereinigung disjunkt. Daher folgt mit (b), (c) wie behauptet:
q
2
.
|
|
=
|
| · |
[
]
|
=
K
H
G
=
|{
∈G
∈
}|
=
|G
|
(e) Wegen (A2) gilt
r
:
, denn in jeder Äquivalenz-
klasse paralleler Geraden gibt es genau ein Element durch
a
. Daher ist diese Zahl
auch unabhängig von
a
.
Es seien nun
a
G
;
a
G
/
∈
K
,
H
∈G
,
a
∈
H
. Für jede Gerade
G
durch
a
gilt
G
H
oder
∩
= ∅
|
|
+
=
+
G
1 solche Geraden.
(f) Im Fall einer affinen Ebene kann man jeden Punkt von
H
tatsächlich mit
a
verbinden, somit gilt
r
H
. Daher gibt es wegen (A1)' höchstens
H
1
q
=
|
|
+
H
1.
Die Zahl
q
aus Teil (b) des Lemmas heißt die
Ordnung
des Netzes
(
K
,
G
)
.
Beispiel
Es sei
(
A
,
G
)=
AG
(
2,
F
)
die affine Ebene über einem endlichen Körper
F
mit
q
=
|
F
|
Elementen. Die Ordnung der affinen Ebene
(
A
,
G
)
ist
q
. Da es nach Satz
