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5.3 Beweisbar perfekte Systeme *
Um Beispiele für perfekte Authentikationssysteme angeben zu können, holen wir
etwas aus. Wir führen den Begriff der
affinen Ebene
eine, den wir auch in Kapitel 13
noch brauchen werden.
5.3.1 Definition affiner Ebenen
A
G
A
G⊆
Es sei
eine Menge, und
sei eine Menge von Teilmengen von
,d.h.
Pot
(
A
)
. Das Paar
(
A
,
G
)
heißt
affine Ebene
, falls
|
G
|≥
2 für alle
G
∈G
und die
folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
(A1) Zu je zwei Elementen
a
,
b
∈A
mit
a
=
b
existiert genau ein
G
∈G
mit
∈
a
,
b
G
; wir schreiben
a
,
b
für dieses
G
.
G
existiert genau ein
G
∈G
∈G
∈A\
(A2) (
Parallelenaxiom
)Zu
G
und
a
mit
G
und
G
G
= ∅
∈
∩
a
.
(A3) Es gibt drei Punkte
a
,
b
,
c
∈A
mit
c
∈
a
,
b
.
Die Menge
A
nennt man die
Punktmenge
und die Menge
G
die
Geradenmenge
(
A
G
)
∈
∈G
der affinen Ebene
geometrische
Sprechweisen wie
der Punkt a liegt auf der Geraden G
oder
die Gerade G geht durch
den Punkt a
usw.
,
. Wir benutzen für
a
G
für ein
G
5.3.2 Die affine Ebene
AG
(
2,
F
)
2
F
F
Es sei
der (gewöhnliche) zweidimensionale
-Vektorraum über dem Körper
2
und
F
. Wir setzen
A
:
=
F
a
0
.
2
,
b
G
:
=
+
F
b
;
a
,
b
∈
F
=
2
.
Dabei ist
F
b
:
=
{
λ
b
;
λ
∈
F
}
der von
b
erzeugte Untervektorraum von
F
F
=
R
(
A
G
)
Für
schlicht die Anschauungsebene mit Punkten und Geraden
in der üblichen Interpretation. Man beachte, dass auch in
ist
,
(
A
,
G
)
die Geraden Ne-
2
benklassen von Untervektorräumen in
F
sind, wie man das von der Anschau-
ungsebene kennt.
Für
F
=
R
(
A
G
)
scheint es klar zu sein, dass
,
eine affine Ebene ist, wir zeigen
dass dies für ein beliebiges
F
erfüllt ist - mit den bisherigen Bezeichnungen gilt:
Lemma 5.3
Es ist
(
A
G
)
,
eine affine Ebene.
∈A
=
=
+
F
(
−
)
∈G
Beweis.
(A1) Es seien
a
,
b
mit
a
b
gegeben. Dann ist
G
a
b
a
,
und wegen 0, 1
∈
F
gilt
a
,
b
∈
G
.Essei
H
=
c
+
F
d
eine weitere Gerade, die
a
=
+
λ
=
+
μ
μ ∈
F
und
b
enthält, etwa
a
c
d
,
b
c
d
mit
λ
,
. Dann gilt zum einen
b
−
a
∈
F
d
, also
F
(
b
−
a
)=
F
d
, und
zum
anderen
a
+
F
d
=
c
+
F
d
. Wir fassen
zusammen:
H
=
a
+
F
(
b
−
a
)=
G
=
a
,
b
.
