Cryptography Reference
In-Depth Information
Jedes solche Element wird dann durch das
Byte
a
7
a
6
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
a
0
abgekürzt.
Bei Rechnungen ist nur zu beachten, dass
8
4
3
α
=
α
+
α
+
α
+
=
00011011.
Um eine kompaktere Schreibweise zu erhalten, werden Bytes häufig im
Hexade-
zimalsystem
dargestellt. Das Byte wird dabei als Dualzahl aufgefasst und in das
Sechzehner-System umgerechnet (mit
A
1
=
10,
B
=
11,
C
=
12,
D
=
13,
E
=
=
14,
F
15; die rechte Seite ist jeweils im Dezimalsystem dargestellt). Dann gilt:
2
8
1
=
01
,
α
=
02
,
α
+
1
=
03
,
α
=
04
,
...
α
=
1B
.
Hexadezimalzahlen werden stets, wie hier, typografisch abgesetzt. Um zu de-
monstrieren, wie man in
F
rechnet, bringen wir einige
Rechenbeispiele.
4
3
7
4
·
09
=
α
(
α
+
1
)=
α
+
α
=
90
.
10
16
8
2
4
3
2
8
6
2
α
=
α
)
=(
α
+
α
+
α
+
)
=
α
+
α
+
α
+
1
1
4
3
6
2
6
4
3
2
=
α
+
α
+
α
+
1
+
α
+
α
+
1
=
α
+
α
+
α
+
α
+
α
=
5E
.
32
2
6
4
3
2
2
=(
)
=(
α
+
α
+
α
+
α
+
α
)
α
5E
12
8
6
4
2
8
7
5
4
8
6
4
2
=
α
+
α
+
α
+
α
+
α
=
α
+
α
+
α
+
α
+
α
+
α
+
α
+
α
7
6
5
2
=
α
+
α
+
α
+
α
=
E4
.
7
4
3
3
2
·
0C
=
α
+
α
+
α
+
α
)(
α
+
α
)
9A
10
7
6
3
9
6
5
2
=
α
+
α
+
α
+
α
+
α
+
α
+
α
+
α
2
4
3
4
3
7
5
3
2
=
α
(
α
+
α
+
α
+
1
)+
α
(
α
+
α
+
α
+
1
)+
α
+
α
+
α
+
α
7
6
5
4
2
=
α
+
α
+
α
+
α
+
α
=
F4
.
Wir betrachten noch ein für das AES-Verfahren wichtiges Beispiel.
Beispiel
Über dem Körper
F
X
4
4
=
F
2
8
ist das Polynom
h
=
+
1
=(
X
+
1
)
nicht irredu-
X
4
=
[
]
(
+
)
zibel. Wir betrachten den Ring
R
F
X
/
1
.
+
∈
(
+
)=
+
=
Das Element
X
1
R
ist nicht invertierbar, denn ggT
X
1,
h
X
1
3
1. Außerdem gilt
(
X
+
1
)
·
h
(
X
+
1
)
=
0; auch das zeigt, dass
X
+
1 nicht
invertierbar ist.
=
03
X
3
X
2
+
+
+
02
ist invertierbar in
R
. Wäre nämlich
Das Element
c
X
ggT
1 ein Teiler von
c
sein. Es ist aber 1 keine
Nullstelle von
c
, wie man sich leicht überzeugt. In der Tat ist
(
c
,
h
)
=
1, dann müsste
X
+
c
−
1
0B
X
3
0D
X
2
=
+
+
09
X
+
0E
das Inverse zu
c
. Der Nachweis ist nicht schwierig, aber langwierig.
