Cryptography Reference
In-Depth Information
Wir halten für spätere Zwecke noch ein wichtiges Ergebnis fest.
Lemma 3.7
Es sei h
∈
[
]
K
X
ein irreduzibles Polynom über dem Körper K. Dann gilt für alle Polyno-
me f
,
g
∈
K
[
X
]
:
|
⇒
|
|
h
fg
h
f oder h
g
.
Beweis.
Wir müssen nur den Fall
h
f
genauer untersuchen. Da
h
irreduzibel ist,
(
)=
∈
[
]
hat man dann ggT
f
,
h
1. Nach Satz 3.6 gibt es
a
,
b
K
X
mit
=
+
1
af
bh
.
Wir multiplizieren diese Gleichung mit
g
und erhalten
g
=
afg
+
bhg
.
Beide Summanden auf der rechten Seite der Gleichung sind durch
h
teilbar, als
o
gilt das mit Lemma 3.5 (b) auch für die linke Seite:
h
|
g
.
3.1.7 Körper
[
]
(
)
=
[
]
Nach Lemma 3.4 ist
K
X
/
h
für jedes Polynom
h
0 aus
K
X
ein Ring mit
Einselement. Wir zeigen nun, dass
K
[
X
]
/
(
h
)
sogar ein Körper ist, falls das Poly-
nom
h
irreduzibel ist.
Satz 3.8
Es sei K ein Körper und h
∈
K
[
X
]
\{
0
}
. Betrachte den Ring R
:
=
K
[
X
]
/
(
h
)
.
(a) Das Polynom f
∈
R ist genau dann invertierbar, wenn
ggT
(
f
,
h
)=
1
.
(b) Der Ring R ist genau dann ein Körper, wenn h irreduzibel ist.
q
deg
h
.
|
|
=
|
|
=
(c) Im Fall
K
q gilt
R
(
)=
∈
[
]
+
=
Beweis.
(a) Gilt ggT
f
,
h
1, so existieren
g
,
b
K
X
mit
fg
hb
1. Es folgt
1, sodass
f
invertierbar ist.
Es sei nun
f
invertierbar mit dem Inversen
g
, also gilt
f
f
·
h
g
=
·
h
g
=
1. Dann gibt es
∈
[
]
=
+
ein
b
K
X
mit
fg
hb
1. Für jeden gemeinsamen Teiler
d
von
f
und
h
gilt
1 nach Satz 3.6 (a).
(b) Ist
h
irreduzibel, so gilt wegen Satz 3.6 (a) ggT
d
|
fg
−
hb
=
1, also gilt ggT
(
f
,
h
)=
(
)=
∈
[
]
\{
}
f
,
h
1 für alle
f
K
X
0
mit deg
f
deg
h
. Also ist
R
nach (a) ein Körper.
Ist
h
nicht irreduzibel, so ist ggT
<
(
)=
=
1 für jeden echten, normierten Teiler
d
von
h
. Dieser ist nach (a) nicht invertierbar, und
R
kann kein Körper sein.
(c) ergibt sich direkt aus der Definition.
d
,
h
d
Beispiel
h
=
X
−
a
∈
K
[
X
]
führt auf
K
=
K
[
X
]
/
(
h
)
.
