Cryptography Reference
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Lemma 1.3
Es seien M
R
×
eine invertierbare Matrix und v
R
ein Vektor. Dann ist die affine
∈
∈
Abbildung f
invertierbar. Das Inverse von f
ist f
.
(
)
(
)
(
M
−
1
,
−
M
−
1
v
)
M
,
v
M
,
v
∈
R
. Dann gilt:
Beweis.
Es sei
x
)
◦
)
(
)=
)
(
)
(
))
f
f
x
f
f
x
M
−
1
,
M
−
1
v
(
M
−
1
,
M
−
1
v
(
(
−
M
,
v
(
−
M
,
v
=
)
(
+
)
f
Mx
v
(
M
−
1
,
−
M
−
1
v
M
−
1
M
−
1
v
=
(
+
)
−
=
Mx
v
x
Analog zeigt man
f
)
◦
f
(
M
−
1
,
−
M
−
1
v
)
(
x
)=
x
. Folglich ist
f
invertierba
r,
(
M
,
v
(
M
,
v
)
und es ist
f
das Inverse von
f
.
M
−
1
,
M
−
1
v
(
M
,
v
)
(
−
)
1.7.3 Affine und lineare Chiffren
N∈
R
n
wird in
Lemma 1.3 liefert ein Verschlüsselungsverfahren. Ein Klartext
Blöcke der Länge
unterteilt
N
=(
···
)(
···
x
2
)
···
(
···
(
r
+
1
)
)
x
1
x
x
x
r
+
1
x
+
1
(falls
n
, wird der letzte Block durch Buchstaben aus
R
zu einem Block der
=
···
(
s
+
1
)
∈
R
mit einer inver-
Länge
ergänzt) und dann jeder Block
x
x
s
+
1
x
tierbaren affinen Abbildung
f
verschlüsselt
:
(
M
,
v
)
x
Verschlüsselung
−→
f
)
(
x
)
.
(
M
,
v
Mit der Umkehrabbildung
g
:
=
f
wird dann jeder Block
y
=
(
M
,
v
)
(
M
−
1
,
−
M
−
1
v
)
R
entschlüsselt
:
f
)
(
x
)
∈
(
M
,
v
y
Entschlüsselung
−→
f
(
M
−
1
,
−
M
−
1
v
)
(
y
)=
x
.
(
)
Bei einer solchen
affinen Chiffre
besteht der Schlüssel
M
,
v
aus einer invertier-
R
×
und einem Vektor
v
R
. Im Fall
v
baren Matrix
M
∈
∈
=
0 spricht man von
einer
linearen Chiffre
.
Beispiel
Die Vigenère-Chiffre ist eine affine Chiffre über
R
=
Z
q
mit
M
=
I
, der
×
-
=
···
Einheitsmatrix, und
v
k
1
k
, dem Schlüsselwort.
