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Aufgaben
13.1
Zeigen Sie, dass in einer projektiven Ebene jede Gerade mindestens drei
Punkte hat. Zeigen Sie weiter, dass alle Geraden gleich viele Punkte haben.
aus Lemma 13.1 das Axiom (A3) für affine
Ebenen gilt. Beachten Sie, dass zwei der vier in (P3) postulierten Punkte auf
U
liegen könnten. Nur in diesem Fall ist die Aussage nicht trivial.
13.2
Zeigen Sie, dass in
(
P
U
,
G
U
)
13.3
Es seien
F
ein Körper mit char
F
=
2 und
E
:
y
2
x
3
a
2
x
2
+
a
1
xy
+
a
3
y
−
(
+
+
a
4
x
+
a
6
)
eine Kurve. Zeigen Sie:
(a) Es gibt eine Koordinatentransformation, die
E
auf die Form bringt
E
:
y
2
x
3
cx
2
−
(
+
+
+
)
ax
b
=
=
(b) Ist char
F
0 erreicht werden.
(c)
E
ist singulär genau dann, wenn
x
3
3, so kann
c
+
cx
2
+
+
ax
b
mehrfache Nullstellen be-
sitzt.
x
3
σ
(
)=
+
+
∈
F
[
]
13.4
Zeigen Sie: Das Polynom
x
ax
b
x
hat genau dann mehr-
fache Nullstellen, wenn 4
a
3
27
b
2
+
=
0 gilt.
Hinweis:
Setzen Sie
x
3
2
+
ax
+
b
=(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
und führen Sie einen Koeffizi-
entenvergleich durch.
13.5
Zeigen Sie, dass eine Kurve
E
:
y
2
=
x
3
+
ax
2
+
+
bx
c
über einem Körper
der Charakteristik 2 stets singulär ist.
2, 3, und
E
:
y
2
x
3
=
=
+
+
b
sei eine
elliptische Kurve. Die Gerade
G
schneide
E
im Punkt
P
mit Vielfachheit
13.6
Es sei
F
ein Körper mit char
F
ax
ν
.
(a) Ist
ν
>
1, so ist
G
=
T
P
.
(b)
.
(c) Bestimmen Sie ein Polynom, dessen Nullstellen die
x
-Koordinaten der Punk-
te der Ordnung 3 von
E
sind (Hinweis: 3
P
ν
=
3
⇔
3
P
=
O
=
O⇒
=
−
2
P
P
).
13.7
Es sei
E
:
y
2
x
3
=
+
+
x
3 über
Z
11
.
(a) Bestimmen Sie alle Punkte der Ordnung 3.
(b) Bestimmen Sie alle Punkte der Ordnung 2.
(c) Zeigen Sie, dass der Punkt
P
=(
)
4, 4
auf
E
liegt.
(d) Bestimmen Sie die Ordnung von
P
.
(e) Bestimmen Sie
|
E
|
.
