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13.2.1 Elliptische Kurven als Nullstellenmenge
Wir stellen ab jetzt verschiedene Voraussetzungen, deren Bedeutungen wir im
folgenden Abschnitt erklären werden. Dabei benutzen wir die Bezeichnung
char
F =
F =
+
=
+
+
=
F
2 bzw. char
3, falls 1
1
0 bzw. 1
1
1
0 - man sagt,
habe eine Charakteristik ungleich 2 bzw. ungleich 3.
Es gelte char
F =
2, 3.
F
so gewählt, dass das Polynom x 3
+
+
F [
]
Es seien a , b
ax
b
x
keine
mehrfache Nullstellen hat.
• Wir setzen für die a , b
F
im letzten Punkt:
Y 2 Z
X 3
aXZ 2
bZ 3
F
(
X , Y , Z
)
:
=
F [
X , Y , Z
]
und
y 2
x 3
f
(
x , y
)
:
=
ax
b
F [
x , y
]
.
Wir betrachten nun die Nullstellenmenge des homogenen Polynoms F vom Grad
3 in der Punktmenge der projektiven Ebene PG
(
F )
2,
. Wir nennen die Menge
= { (
) ∈P
(
)=
}
E :
u : v : w
; F
u , v , w
0
eine elliptische Kurve über
. Da die Elemente von E Äquivalenzklassen sind,
ist die Wohldefiniertheit zu begründen: Ist
F
u
: v
: w )=(
(
u : v : w
)
, so existiert
u , v , w )= λ (
ein
λ F
mit
(
u , v , w
)
. Wegen der Homogenität des Polynoms
(
)
F
X , Y , Z
gilt
u , v , w )=
3 F
(
( λ
)= λ
(
)
F
F
u ,
λ
v ,
λ
w
u , v , w
.
Daher gilt
F
(
u , v , w
)=
0
F
( λ
u ,
λ
v ,
λ
w
)
,
P
und die Nullstellen von F in
sind wohldefiniert.
13.2.2 Affine Darstellung elliptischer Kurven
Der einzige Punkt der elliptischen Kurve
E :
= { (
u : v : w
) ∈P
; F
(
u , v , w
)=
0
}
mit der Z -Koordinate 0 ist
, alle anderen Punkte auf E liegen in
P U , wenn man für U die unendlich ferne Gerade U
O
:
=(
0:1:0
)
= { (
) ∈P
=
}
u : v : w
; w
0
zugrunde legt. Ist nämlich die Z -Koordinate von P
E nicht 0, so können wir
ohne Einschränkung annehmen, dass
P
=(
u : v :1
)
mit u , v
F
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