Cryptography Reference
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Beispiel
Jede der Geraden
a
2
, ist parallel zur
y
-Achse
+
F
(
)
=(
)
∈
F
F
(
)
0, 1
,
a
a
1
,
a
2
0, 1
.
Die Bilder unter
Φ
sind jeweils Teilmengen der Geraden
G
:
=
{
[
μ
(
a
1
,
a
2
,1
)+
ν
(
0, 1, 0
)]
;
μ
,
ν
∈
F
,
(
μ
,
ν
)
=(
0, 0
)
}
= (
)
(
)
a
1
:
a
2
:1
,
0:1:0
.
Die im Affinen parallelen Geraden bekommen im Projektiven alle den gemeinsa-
men Schnittpunkt
O
:
=(
0:1:0
)
.
Bemerkung
Die projektive Ebene PG
durch
Hinzufügen
einer unendlich fernen Geraden. Anders ausgedrückt besagt das,
dass der im Lemma 13.2 beschriebene Vorgang des Entfernens einer Geraden
auch umgekehrt werden kann.
(
2,
F
)
entsteht aus der affinen Ebene AG
(
2,
F
)
|
F
|
=
∈
N
(
F
)
Ist
q
, so hat jede Gerade in AG
2,
genau
q
Punkte, jede Gerade
in PG
(
2,
F
)
hat genau
q
+
1 Punkte.
13.2 Definition elliptischer Kurven
(
F
)
Nachdem wir nun für jeden Körper
F
die projektive Ebene PG
2,
mit der
Punktmenge
3
P
=
(
u
:
v
:
w
)
;
(
u
,
v
,
w
)
∈
F
\{
0
}
erklärt haben, führen wir nun die Punktmenge einer
elliptischen Kurve
ein. Da-
zu benötigen wir Polynome in den Unbestimmten
X
,
Y
und
Z
. Solche Polynome
in
mehreren Unbestimmten
sind aber problemlos einzuführen, indem wir auf die
Definition von Polynomen im Abschnitt 3.1.2 in einer Unbestimmten
X
zurück-
greifen und sukzessive die Unbestimmten
X
,
Y
und
Z adjungieren
, wir setzen:
F
[
]
=((
F
[
])[
])[
]
X
,
Y
,
Z
:
X
Y
Z
.
[
]
Wir erhalten mit der Darstellung des Polynomrings
K
X
auf Seite 35 eine Dar-
stellung für den Polynomring
F
[
X
,
Y
,
Z
]
:
.
∑
k
,
l
,
m
a
k
,
l
,
m
X
k
Y
l
Z
m
;
a
k
,
l
,
m
F
[
]=
∈
F
X
,
Y
,
Z
≥
0
)=∑
k
,
l
,
m
≥
0
a
k
,
l
,
m
X
k
Y
l
Z
m
Wir nennen ein Polynom
F
(
X
,
Y
,
Z
∈
F
[
X
,
Y
,
Z
]
homo-
, falls für jedes Monom
a
k
,
l
,
m
X
k
Y
l
Z
m
mit
a
k
,
l
,
m
=
gen
vom Grad
d
∈
N
0 gilt
+
+
=
k
l
m
d
.
Beispiel
Das Polynom
Y
2
Z
a
3
YZ
2
X
3
a
2
X
2
Z
a
4
XZ
2
a
6
Z
3
(
)
=
+
+
−
−
−
−
F
X
,
Y
,
Z
:
a
1
XYZ
ist homogen vom Grad 3.
