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13.1.4 Die unendlich ferne Gerade
Wir untersuchen nun speziell die projektive Koordinatengeometrie
(
P
,
G
)=
(
F
)
PG
2,
über dem Körper
F
. Dabei wählen wir unter den
vielen
Geraden aus
G
der projektiven Ebene eine Gerade
U
aus. Geometrisch gibt es keinen Grund,
eine spezielle Gerade zu wählen, es sind alle gleichberechtigt. Aber wir wählen
dennoch eine ganz bestimmte Gerade, die für unsere Zwecke praktisch ist, da da-
mit die späte
ren R
echnungen vereinfacht werden. Wir wählen die Verbindungs-
gerade
U
=
P
,
Q
von den Punkten
P
=(
1:0:0
)
und
Q
=(
0:1:0
)
, also die
Menge
=
{
(
)
∈P
=
}
.
Wir bezeichnen diese Gerade
U
als
unendlich ferne Gerade
und zeichnen sie
dadurch aus.
U
u
:
v
:
w
;
w
0
Lemma 13.3
Gegeben ist die projektive Ebene
(
P
,
G
)=
PG
(
2,
F
)
. Es sei U die unendlich ferne Ge-
rade. Dann ist die Abbildung
:
2
→
U
F
Φ
(
α
,
β
)
→
(
α
:
β
:1
)
ein Isomorphismus von affinen Ebenen (d. h.
Φ
ist bijektiv und bildet Geraden auf Gera-
den ab).
Beweis.
Nach Lemma 13.2 ist
(
P
U
,
G
U
)
eine affine Ebene. Es sei
(
α
:
β
:
γ
)
∈P
U
.
(
α
γ
)
∈
γ
=
Wegen
:
β
:
U
gilt
0, also hat man:
Φ(
αγ
−
1
,
βγ
−
1
)=(
αγ
−
1
:
βγ
−
1
:1
)=(
α
γ
)
:
β
:
,
(
α
β
)
=
somit ist die Abbildung
Φ
surjektiv. Sie ist aber auch injektiv, denn mit
,
(
α
,
β
)
(
α
,
β
,1
(
α
β
)
)
sind die Vektoren
,
,1
und
linear unabhängig, also folgt
)
=(
α
:
β
:1
(
α
:
β
:1
)
.
2
hat die
For
m
a
,
b
2
,
a
=
+
F
(
−
)
∈
F
=
Jede Gerade aus
F
a
b
a
mit
a
,
b
b
. Für
einen Punkt
a
+
λ
(
b
−
a
)
∈
a
,
b
und alle
μ
∈
F
\{
0
}
gilt:
Φ
(
a
+
λ
(
b
−
a
)) = [(
a
1
,
a
2
,1
)+
λ
(
b
1
−
a
1
,
b
2
−
a
2
,0
)]
=
μ
(
)+
μλ
(
−
−
)]
a
1
,
a
2
,1
b
1
a
1
,
b
2
a
2
,0
.
Diese Punkte liegen alle auf der Geraden
G
:
=
{
[
μ
(
a
1
,
a
2
,1
)+
ν
(
b
1
−
a
1
,
b
2
−
a
2
,0
)]
;
μ
,
ν
∈
F
,
(
μ
,
ν
)
=(
0, 0
)
}
.
In der Tat wird jeder Punkt von
G
für einen geeigneten Wert von
λ
als Bildpunkt
=(
−
−
)
unter
Φ
erreicht, mit Ausnahme des Punktes
R
b
1
a
1
:
b
2
a
2
:0
(für
diesen Punkt können die Werte
μ
=
0 und
ν
=
1 gewählt werden). Außerde
m
gilt
G
∩
U
=
R
. Daher folgt
Φ
(
a
,
b
)=
G
∩P
U
∈G
U
.
