Cryptography Reference
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Bemerkung
Obwohl der unterliegende Vektorraum
3
dreidimensional ist, schreiben wir
F
PG
, weil diese Geometrie in einem präzisierbaren Sinne
zweidimensional
ist.
Außerdem werden wir einen engen Zusammenhang mit AG
(
2,
F
)
(
F
)
2,
feststellen.
Für unsere Zwecke ist PG
das wichtigste Beispiel einer projektiven Ebene.
Wir zeigen ein weiteres interessantes Beispiel.
(
2,
F
)
Beispiel
Die kleinste projektive Ebene besteht aus sieben Punkten.
Eine Veranschaulichung findet man in der nebenstehenden
Skizze. Die sieben Geraden enthalten je drei Punkte (auch
der Kreis ist eine
Gerade
!).
13.1.3
Jede projektive Ebene liefert viele affine Ebenen
P
Wenn wir aus der Punktmenge
einer projektiven Ebene eine (beliebige) Gerade
U
entfernen und auch aus jeder Geraden die
U
zugehörigen Punkte entfernen, so
erhalten wir eine affine Ebene (vgl. die Definition auf Seite 87). Das ist der Inhalt
des folgenden Lemmas.
Lemma 13.2
Es seien
(
P
,
G
)
eine projektive Ebene und U eine Gerade, d. h. U
∈G
. Wir setzen
P
U
:
=
P\
U
,
G
U
:
=
{
G
∩P
U
;
G
∈G\{
U
}}
=
{
G
\
U
;
G
∈G\{
U
}}
.
Dann ist
(
P
U
,
G
U
)
eine affine Ebene.
Beweis.
(A1) folgt direkt aus (P1).
(A2) Es seien
G
∈G
U
und
G
∈G
G
\
mit
G
=
U
. Für
P
∈P
U
\
G
. Setze
G
∩
=
=
\
∈G
U
.
Q
:
U
und
H
:
PQ
U
∈
∩
=
∅
Es gilt dann
P
H
,
G
H
. Jede andere Gerade hat wegen (P2) mit
G
einen
Schnittpunkt, der in
P
U
liegt.
Nach Aufgabe 13.1 hat jede Gerade in
(
P
G
)
,
mindestens drei Punkte, daher hat
jede Gerade in
(
P
U
,
G
U
)
mindestens zwei Punkte.
(A3) siehe Aufgabe 13.2.
Zusammengefasst und vereinfacht kann man sagen, dass jede Gerade einer pro-
jektiven Ebene durch Entfernen dieser Geraden eine affine Ebene liefert.
