Cryptography Reference
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Im Rahmen des AKS-Testes werden uns Ideale in Polynomringen interessieren.
Dazu erinnern wir an den Polynomring
K
[
]
X
über einem Ring
K
, insbesondere
über
Z
:
i
=
0
a
i
X
i
;
k
∈
N
0
,
a
i
∈
K
für alle
i
=
0, . . . ,
k
.
Polynomringe wurden im Abschnitt 3.1.2 eingeführt. Nachfolgend die für alles
weitere wesentlichen Beispiele für Ideale.
f
k
K
[
X
]
:
=
=
Beispiel
Für jedes Element
a
eines kommutativen Ringes
R
ist
I
=(
a
)
:
=
aR
=
{
ar
∈
R
;
r
∈
R
}
ein Ideal.
Etwas allgemeiner: Für beliebige Elemente
a
1
,...,
a
k
eines kommutativen Rin-
ges
R
bildet
I
=(
a
1
,...,
a
k
)
:
=
a
1
R
+
···
+
a
k
R
=
{
a
1
r
1
+
···
+
a
k
r
k
;
r
1
,...,
r
k
∈
R
}
ein Ideal von
R
- man nennt es das von
a
1
,...,
a
k
erzeugte Ideal
von
R
.
{
und
R
sind Ideale von
R
- die sogenannten
trivialen
Ideale des Ringes
R
,
man nennt
0
}
{
}
{
}
=(
)
0
das
Nullideal
und
R
das
Einsideal
von
R
; es gilt
0
0
und
R
=(
1
)
.
Die Ideale von
Z
sind genau die Mengen
(
k
)=
k
Z
mit
k
∈
N
0
. Den Nachweis
dieser Aussage haben wir als Übungsaufgabe gestellt.
Für jedes
f
∈
Z
[
X
]
ist
I
=(
f
)=
f
Z
[
X
]=
{
fg
;
g
∈
Z
[
X
]
}
ein Ideal des
Z
[
]
Polynomrings
X
- dies ist ein Sonderfall des ersten Beispiels.
Wir treffen eine Vereinbarung: Wir schreiben für ein Ideal
I
eines Ringes
R
und
Elemente
r
,
s
∈
R
≡
(
)
⇔
−
∈
I
und sagen in diesem Fall, dass
r
und
s
kongruent
modulo
I
sind. Diese Schreib-
weise kollidiert nicht mit der bereits vielfach benutzten Schreibweise
r
s
mod
I
:
r
s
≡
(
)
⇔
|
−
a
b
mod
k
k
a
b
für ganze Zahlen
a
und
b
. Es gilt nämlich:
a
≡
b
(
mod
(
k
))
⇔
a
−
b
∈
(
k
)=
k
Z
⇔
k
|
a
−
b
⇔
a
≡
b
(
mod
k
)
.
Beispiel
Für den kommutativen Ring
Z
[
]
=(
)=
Z
[
]
∈
N
X
und
I
k
k
X
,
k
, gilt etwa
X
3
X
3
−
≡
(
)
kX
mod
I
,
X
3
X
3
in
I
liegt.
da die Differenz
(
−
kX
)
−
