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6.1.4 Faktorgruppen
Ist
U
eine Untergruppe einer abelschen Gruppe
(
G
,
·
)
, so kann man auf der Men-
ge
G
/
U
:
der
Nebenklassen
aU
eine neue Multiplikation erklä-
ren. Wir definieren für
aU
,
bU
=
{
aU
;
a
∈
G
}
∈
G
/
U
:
(
)
·
(
)
=
aU
bU
:
abU
.
Diese Verknüpfung ist wohldefiniert, und es gilt:
Lemma 6.7
Es ist
eine (abelsche) Gruppe mit neutralem Element U, die sogenannte
Fak-
torgruppe
modulo U. Ist G endlich, so gilt
(
G
/
U
,
·
)
|
|
=
|
|
|
|
G
/
U
G
/
U
.
Beweis.
Der erste Teil ist aus der linearen Algebra bekannt, der zweite Teil ste
ht
im Beweis zum Satz 6.4 von Lagrange.
Einfache und wohlbekannte Beispiele liefern die Untergruppen
n
Z
,
n
∈
N
, der
Z
=
Z
n
(siehe auch Seite 3).
additiven Gruppe
Z
.Esist
Z
/
n
Beispiel
Ist
U
Z
18
(vgl. das Beispiel auf Seite
=
17
die z
we
iel
e
mentige
U
nte
r
gruppe von
∈
∈
95), so gilt wegen 13
5
U
und 11
7
U
:
Z
18
/
U
=
{
U
, 5
U
, 7
U
}
=
5
U
=
7
U
.
|
Z
18
/
U
|
=
|
Z
18
|
Man beachte:
/
|
U
|
=
6/2
=
3.
6.1.5 Der Satz von Cauchy
Es muss keineswegs zu jedem Teiler
t
der Gruppenordnung einer endlichen
Gruppe
G
auch eine Untergruppe der Ordnung
t
existieren. Ist jedoch
t
eine Prim-
zahl, so ist die Existenz gesichert.
Satz 6.8
(Cauchy)
Es sei G eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung n. Zu jedem Primteiler p von n
existiert ein Element a
∈
G mit o
(
a
)=
p.
Beweis.
Wir setzen
n
=
pm
mit
m
∈
N
und beweisen die Behauptung per Induk-
=
tion nach
m
. Für
m
1 folgt die Behauptung aus dem Satz 6.4 von Lagrange. Es
sei nun
m
.
1. Fall:
Es existiert ein
a
∈
N
o
(
a
)
∈
G
mit
p
|
o
(
a
)
. Dann ist
a
∈
G
ein Element der
p
Ordnung
p
.
