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Definition: Kartesisches Produkt
Für
das
kartesische
Produkt
A
1
A
2
. . .
A
n
der
Mengen
A
1
, . . . , A
n
gilt
A
1
A
2
. . .
A
n
=f(
a
1
, a
2
, . . . , a
n
)j
a
i
2
A
i
; 1
i
n
g
Das kartesische Produkt besteht also aus allen n-Tupeln, die wir in dieser Reihen-
folge aus den Elementen der Mengen A
1
, . . . , A
n
bilden können. Die Anzahl der
Tupel wächst mit der Faktorenzahl des Produktes und beträgt jA
1
jjA
2
j ...
jA
n
j
3.3
Relationen
Als Nächstes lernen wir den für den Rest des Buches wichtigen Begriff der Re-
lation und somit die Grundlage des Begriffes „Relationale Datenbank“ kennen.
Vermutlich sind wir überrascht, wie einfach alles eigentlich ist:
Definition: Relation
Eine Relation ist eine Teilmenge eines kartesischen Produktes.
Wenn wir etwa die beiden Mengen C und F für die Farb- und Kartenwerte von
Spielkarten verwenden, dann ist das folgende „Full House“
f(
Pik, Ass
)
,
(
Kreuz, Ass
)
,
(
Herz, Ass
)
,
(
Herz, König
)
,
(
Karo, König
)g
eine Relation über dem (kartesischen) Produkt der Mengen C und F.
Die ebenen Punkte auf der x-Achse f(0, x)jx 2Rg sind ebenfalls eine Relation
über dem kartesischen ProduktRR.
Die Menge aller Lieder L, die jemals auf einem Album erschienen sind,
bildet eine Relation über dem Produkt L
1
L
2
L
3
L
4
. Das 4-Tupel
(Get Back, The Beatles, Let It Be, 4)gehört zu dieser Relation L, das 4-Tupel
(
Satis f action, Frank Sinatra, The Dark Side O f The Moon, 23
)
dagegen nicht: Es
gibt von Frank Sinatra kein Album dieses Namens. Wir sehen hier bereits, dass
der Inhalt einer Relation kontextabhängig sein kann: Die Menge der Punkte auf
der x-Achse bleibt immer die gleiche, dagegen ändert sich im Laufe der Zeit die
Menge der Titel, die jemals auf einem Album erschienen sind.
Wir erfahren jetzt, warum die Begriffe „Tabelle“ und „Relation“ oft synonym ver-
wendet werden. Endliche Relationen lassen sich nämlich tabellenförmig darstellen.
Für das „Full House“ aus dem Beispiel erhalten wir so
