Biomedical Engineering Reference
In-Depth Information
æ
ö
∂
u
2
µ ∂ ∂
u
v
P
σ
=
-
2
µ
∂
+
+
ç
÷
x
x
3
∂ ∂
x
y
è
ø
(2.9)
æ
ö
∂ ∂
τ µ
∂ ∂
u
v
=
+
xy
ç
÷
y
x
è
ø
where
m
is the dynamic viscosity. Combining (2.8) and (2.9) and extending the for-
mulation to the three-dimensional case yield the Navier-Stokes equation
æ
2
2
2
ö
æ
ö
∂
u
∂
u
∂
u
∂
u
∂
P
∂
u
∂ ∂
u
u
u
v
w
F
ρ
+
+
+
= -
+
µ
+
+
+
ç
÷
ç
÷
x
ç
÷
2
2
2
∂ ∂
t
x
∂
y
∂
z
∂
x
∂
x
∂
y
∂
z
è
ø
è
ø
æ
2
2
2
ö
æ
∂
v
∂
v
∂
v
∂
v
ö
∂
P
∂
v
∂ ∂
v
v
(2.10)
ρ
+
u
+
v
+
w
= -
+
µ
+
+
+
F
ç
÷
ç
÷
y
ç
÷
2
2
2
∂ ∂
t
x
∂
y
∂
z
∂
y
∂
x
∂
y
∂
z
è
ø
è
ø
2
2
2
æ
ö
æ
∂
w
∂
w
∂
w
∂
w
ö
∂
P
∂
w
∂
w
∂
w
ρ
+
u
+
v
+
w
= -
+
µ
+
+
+
F
ç
÷
ç
÷
ç
÷
2
2
2
∂
t
∂
x
∂
y
∂
z
∂
z
∂
x
∂
y
∂
z
è
ø
è
ø
The vectorial notation is
�
� �
DV
ρ
= -Ñ + D +
P
µ
V F
(2.11)
Dt
�
V
is the velocity vector (
u
,
v
,
w
) and
F
is the body force per unit volume.
where
2.2.1.2
AxisymmetricFormulationoftheNSEquationsforIncompressibleLiquids
It is useful to have the Navier-Stokes equation written in a cylindrical axisymmetric
coordinates system
æ
2
2
ö
æ
∂
v
∂
v
∂
v
ö
∂
P
∂
v
1
∂
v
v
∂
v
r
r
r
r
r
r
r
ρ
+
v
+
v
= -
+
µ
+
-
+
+
F
ç
÷
ç
÷
r
z
r
ç
÷
2
2
2
∂
t
∂
r
∂
z
∂
r
r
∂
r
∂
r
r
∂
z
è
ø
è
ø
(2.12)
2
2
æ
ö
æ
∂
v
∂
v
∂
v
ö
∂
P
∂
v
1
∂ ∂
v
v
z
z
z
z
z
z
ρ
+
v
+
v
= -
+
µ
+
+
+
F
ç
÷
ç
÷
r
z
z
ç
÷
2
2
∂
t
∂
r
∂
z
∂
z
r
∂
r
∂
r
∂
z
è
ø
è
ø
2.2.1.3
EnergyEquation
In case there is a change in the liquid temperature, an energy conservation equation
is added to complete the preceding system. This energy equation is, in Cartesian
coordinates,
æ
¶
T
¶
T
¶
T
¶
T
ö
¶
æ
¶
T
ö
ρ
C
+
u
+
v
+
w
=
k
v
ç
÷
ç
÷
è
¶
t
¶
x
¶
y
¶
z
ø
¶
x
è
¶
x
ø
(2.13)
æ
ö
æ
ö
¶
¶
T
¶
¶
T
+
k
+
k
+
q
ç
÷
ç
÷
¶
y
¶
y
¶
z
¶
z
è
ø
è
ø
