Multidimensional Random Variables - Random Signals and Processes Primer with MATLAB - page 187

The Jacobian of the transformation ( 3.180 ) is:

x 1
x 1 þ x 2

x 2
x 1 þ x 2

x 2 2

p p

x 1

þ 1
x 1 þ x 2

Jðx 1 ; x 2 Þ¼ ¼ p : (3.183)

1
x 2

x 1
x 2

Placing ( 3.182 ) into ( 3.183 ), we get:

y 2 þ 1
y 1

Jðy 1 ; y 2 Þ¼ : (3.184)

Equations ( 3.182 ) have two solutions for x 1 and x 2 :

y 1 y 2
1 þ y 2

y 1
1 þ y 2

x 1 ¼ x 2 ¼

p p

; ;

(3.185)

y 1 y 2
1 þ y 2

y 1
1 þ y 2

x 1 ¼ x 2 ¼ p ; p :

From ( 3.179 ), ( 3.181 ), and ( 3.185 ), it follows:

þ f X 1 X 2 x 1 ; x 2

f X 1 X 2 x 1 ; x 2

f Y 1 Y 2 ðy 1 ; y 2 Þ¼

j Jðy 1 ; y 2 Þ j

(3.186)

y 1
2 s 2

y 1
1 þ y 2

y 1
1 þ y 2

1

ps 2 e

¼ 2 f X 1 X 2 ðy 1 ; y 2 Þ¼ :

Finally, we have:

8
<

y 1
2 s 2

y 1
1 þ y 2

1

ps 2 e

for y 1 0 ;

f Y 1 Y 2 ðy 1 ; y 2 Þ¼ (3.187)

:

0 for y 1 < 0 :

3.4.3 Generalization for N Variables

Given N random variables

X 1 ; X 2 ; ... ; X N ; (3.188)

with the joint density function f X 1 X 2 ; ... ;X N ðx 1 ; x 2 ; ... ; x N Þ , are transformed into new
random variables

Y 1 ; Y 2 ; ... ; Y N ; (3.189)