Punktoperationen - Digitale Bildverarbeitung - page 64

5.5 Histogrammanpassung

P R ( i ) Referenz P A ( i ) Original

Abbildung 5.11
Prinzip der Histogrammanpassung.
Gegeben ist eine Referenzverteilung
P R (links) und die Verteilungsfunk-
tion P A (rechts) fur das Ausgangs-
bild I A . Gesucht ist die Abbildung
f hs : a → a ,diefur jeden ursprung-
lichen Pixelwert a im Ausgangsbild
I A den modifizierten Pixelwert a
bestimmt. Der Vorgang verlauft in
zwei Schritten: A Fur den Pixel-
wert a wird zunachst in der rech-
ten Verteilungsfunktion b =

1 1

b

0 0

i i

a 0 K− 1 0 a K− 1

ermittelt sich der zugehorige neue Pixelwert a durch

P − R P A ( a )

P A ( a )

a =

(5.19)

a ergibt sich dann
durch die Inverse der linken Ver-
teilungsfunktion als a = P − R ( b ).
Insgesamt ist das Ergebnis daher
f hs ( a )= a = P − R ` P A ( a ) ´ .

bestimmt. B

und die Abbildung f hs (Gl.5.17) ergibt sich daraus in der einfachen Form

P − R P A ( a ) ,

f hs ( a )= fur 0 ≤ a<K. (5.20)

Dies setzt naturlich voraus, dass P R ( i ) invertierbar ist, d. h., dass die

P − 1
R

Funktion ( b )fur b ∈ [0 , 1] existiert.

5.5.3 Stuckweise lineare Referenzverteilung

Liegt die Referenzverteilung P R als kontinuierliche, invertierbare Funk-

tion vor, dann ist die Abbildung f hs ohne weiteres mit Gl. 5.20 zu berech-
nen. In der Praxis wird die Verteilung oft als stuckweise lineare Funktion
P L ( i ) vorgegeben, die wir z. B. als Folge von N + 1 Koordinatenpaaren

i N ,q N ,

i 0 ,q 0 , i 1 ,q 1 ,... i k ,q k ,...

bestehend aus den Intensitatswerten i k und den zugehorigen Funktions-
werten q k , spezifizieren konnen. Dabei gilt 0

≤ i k <K , i k <i k +1 sowie

0 q k < 1, und fur die Invertierbarkeit muss die Funktion streng mo-

noton steigend sein, d. h. q k <q k +1 .Zusatzlich fixieren wir die beiden
Endpunkte

≤

i 0 ,q 0 bzw. i N ,q N mit

i 0 =0 bzw. i N = K − 1 ,q N =1 .

Abb. 5.12 zeigt ein Beispiel fur eine solche Funktion, die durch N =5va-
riable Punkte ( q 0 ,...q 4 ) und den fixen Endpunkt ( q 5 ) spezifiziert ist und
damit aus N = 5 linearen Abschnitten besteht. Durch Einfugen zusatz-
licher Polygonpunkte kann die Verteilungsfunktionen naturlich beliebig
genau spezifiziert werden.
Die kontinuierlichen Werte dieser Verteilungsfunktion P L ( i ) ergeben

sich durch lineare Interpolation in der Form
P L ( i )= q m +( i

( q m +1 −q m )
( i m +1 −i m )

− i m ) · fur 0 ≤ i<K − 1

(5.21)

1 fur i = K − 1