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g
(
x
)
g
(
x
)
16.3
Interpolation
Abbildung 16.18
Kubische Interpolation. Ursprung-
liches Signal bzw. ideale Rekonstruk-
tion mit der Sinc-Interpolation (a),
Interpolation mit kubischem Fal-
tungskern nach Gl. 16.47-16.48 (b).
x
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(a)
(b)
x
0
+2
g
(
x
0
)=
w
cub
(
x
0
−
u
)
·
g
(
u
)
.
(16.48)
u
=
x
0
−
1
16.3.5 Lanczos-Interpolation
Die Sinc-Funktion ist trotz ihrer Eigenschaft als ideale Interpolations-
funktion u. a. wegen ihrer unendlichen Ausdehnung nicht realisierbar.
Wahrend etwa bei der kubischen Interpolation eine polynomiale Ap-
proximation der Sinc-Funktion innerhalb eines kleinen Bereichs erfolgt,
wird bei den so genannten
”
windowed sinc“-Verfahren die Sinc-Funktion
selbst durch Gewichtung mit einer geeigneten Fensterfunktion
r
(
x
)als
Interpolationskern verwendet, d. h.
w
(
x
)=
r
(
x
)
·
Sinc(
x
)
.
(16.49)
Als bekanntes Beispiel dafur verwendet die
Lanczos
6
-Interpolation eine
Fensterfunktion der Form
L
n
(
x
)=
sin(
π
n
)
fur 0
≤|
x
|
<n
π
n
(16.50)
0
fur
|
x
|≥
n
(
n ∈
N bezeichnet die Ordnung des Filters) [63, 85]. Interessanterweise
ist also die Fensterfunktion selbst wiederum eine ortlich begrenzte Sinc-
Funktion. Fur die in der Bildverarbeitung am haufigsten verwendeten
Lanczos-Filter der Ordnung
n
=2
,
3 sind die Fensterfunktionen daher
L2(
x
)=
sin(
π
2
)
fur 0
≤|
x
|
<
2
π
2
(16.51)
0
fur
|
x
|≥
2
L3(
x
)=
sin(
π
3
)
fur 0
≤|
x
|
<
3
π
3
(16.52)
0
fur
|
x
|≥
3
Beide Funktionen sind in Abb. 16.19(a,b) dargestellt. Die zugehorigen,
eindimensionalen Interpolationskerne
w
L2
und
w
L3
ergebensichdurch
6
Cornelius Lanczos (1893-1974).
