Digital Signal Processing Reference
In-Depth Information
14.1.1 2D-Basisfunktionen
14
Diskrete
Fouriertransformation in 2D
Gl. 14.2 zeigt, dass eine zweidimensionale Funktion
g
(
u, v
)alsLinear-
kombination (d. h. als gewichtete Summe) zweidimensionaler, komplex-
wertiger Funktionen der Form
)
=cos
2
π
um
M
sin
2
π
um
M
+
vn
N
+
vn
N
e
i2
π
(
u
M
+
v
N
+i
·
(14.3)
M,N
m,n
(
u, v
)
M,N
m,n
(
u, v
)
C
S
M,N
m,n
(
u, v
) zweidi-
mensionale Kosinus- bzw. Sinusfunktionen mit horizontaler Wellenzahl
m
und vertikaler Wellenzahl
n
:
M,N
m,n
(
u, v
) und
dargestellt werden kann. Dabei sind
C
S
m,n
(
u, v
)=cos
2
π
um
M
+
vn
N
M,N
C
(14.4)
m,n
(
u, v
)=sin
2
π
um
N
+
vn
M,N
S
(14.5)
M
Beispiele
Die Abbildungen 14.1-14.2 zeigen einen Satz von 2D-Kosinusfunktionen
C
M,N
m,n
der Große
M
=
N
=16fur verschiedene Kombinationen von Wel-
lenzahlen
m, n
=0
...
3. Wie klar zu erkennen ist, entsteht in jedem Fall
eine gerichtete, kosinusformige Wellenform, deren Richtung durch die
Wellenzahlen
m
und
n
bestimmt ist. Beispielsweise entspricht den Wel-
lenzahlen
m
=
n
= 2 eine Kosinusfunktion
M,N
2
,
2
(
u, v
), die jeweils zwei
volle Perioden in horizontaler und in vertikaler Richtung durchlauft und
dadurch eine zweidimensionale Welle in diagonaler Richtung erzeugt.
Gleiches gilt naturlich auch fur die entsprechenden Sinusfunktionen.
C
14.1.2 Implementierung der zweidimensionalen DFT
Wie im eindimensionalen Fall konnte man auch die 2D-DFT direkt auf
Basis der Definition in Gl. 14.1 implementieren, aber dies ist nicht not-
wendig. Durch geringfugige Umformung von Gl. 14.1 in der Form
1
√
M
N−
1
M−
1
1
√
N
e
−
i2
π
u
M
e
−
i2
π
v
N
G
(
m, n
)=
g
(
u, v
)
·
·
(14.6)
v
=0
u
=0
1-dim. DFT der Zeile
g
(
·
,v
)
wird deutlich, dass sich im Kern wiederum eine
eindimensionale
DFT
(s. Gl. 13.43) des
v
-ten Zeilenvektors
g
(
,v
) befindet, die unabhangig ist
von den
”
vertikalen“ Großen
v
und
N
(die in Gl. 14.6 außerhalb der ecki-
gen Klammern stehen). Wenn also im ersten Schritt jeder Zeilenvektor
g
(
·
,v
)desursprunglichen Bilds ersetzt wird durch seine (eindimensio-
nale) Fouriertransformierte, d. h.
·
