Digital Signal Processing Reference
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2
f
)(
x, y
)=
∂
2
f
∂
2
x
(
x, y
)+
∂
2
f
7.6
Kantenscharfung
(
∇
∂
2
y
(
x, y
)
.
(7.23)
Genauso wie die ersten Ableitungen (Abschn. 7.2.2) konnen auch die
zweiten Ableitungen einer diskreten Bildfunktion mithilfe einfacher li-
nearer Filter berechnet werden. Auch hier gibt es mehrere Varianten,
z. B. die beiden Filter
⎡
⎤
1
∂
2
f
∂
2
x
≈
=
1
1
∂
2
f
∂
2
y
≈
⎣
⎦
,
(7.24)
H
x
H
y
−
2
und
=
−
2
1
die zusammen ein zweidimensionales Laplace-Filter der Form
⎡
⎤
010
1
⎣
⎦
H
L
=
H
x
+
H
y
=
4 1
010
−
(7.25)
bilden (fur eine Herleitung siehe z. B. [48, S. 347]). Ein Beispiel fur die
Anwendung des Laplace-Filters
H
L
auf ein Grauwertbild zeigt Abb.7.11.
H
L
ist ubrigens kein separierbares Filter im herkommlichen Sinn (Ab-
schn. 6.3.3), kann aber wegen der Linearitatseigenschaften der Faltung
(Gl. 6.17 und Gl. 6.19) mit eindimensionalen Filtern in der Form
H
L
=
I
(
H
x
+
H
y
)=(
I
H
x
)+(
I
H
y
)
I
∗
∗
∗
∗
dargestellt und berechnet werden. Wie bei den Gradientenfiltern ist auch
bei allen Laplace-Filtern die Summe der Koe
zienten null, sodass sich
in Bildbereichen mit konstanter Intensitat die Filterantwort null ergibt
(Abb. 7.11). Weitere gebrauchliche Varianten von 3
×
3-Laplace-Filtern
sind
⎡
⎤
⎡
⎤
111
1
121
2
⎣
⎦
⎣
⎦
.
H
8
H
12
=
=
8 1
111
−
oder
12 2
121
−
Scharfung
Fur die eigentliche Scharfung filtern wir zunachst, wie in Gl. 7.22 fur den
eindimensionalen Fall gezeigt, das Bild
I
mit dem Laplace-Filter
H
L
und
subtrahieren anschließend das Ergebnis vom ursprunglichen Bild, d. h.
I
←
(
H
L
I
−
w
·
∗
I
)
.
(7.26)
Der Faktor
w
bestimmt dabei den Anteil der Laplace-Komponente und
damit die Starke der Scharfung. Die richtige Wahl des Faktors ist u. a.
vom verwendeten Laplace-Filter (Normalisierung) abhangig.
Abb. 7.11 zeigt die Anwendung eines Laplace-Filters mit der Filter-
matrix aus Gl. 7.25 auf ein Testbild, wobei die paarweise auftretenden
Pulse an beiden Seiten jeder Kante deutlich zu erkennen sind. Das Filter
