Filter - Digitale Bildverarbeitung - page 102

I ← H G,σ = I H G,σ

x

H G,σ
y

I ∗ ∗ ∗

6.3 Formale Eigenschaften
linearer Filter

realisiert werden.
Die Gauß-Funktion fallt relativ langsam ab und ein diskretes Gauß-
Filter sollte eine minimale Ausdehnung von ca. 2 . 5 σ aufweisen, um

Fehler durch abgeschnittene Koe zienten zu vermeiden. Fur σ =10
benotigt man beispielsweise ein Filter mit der Mindestgroße 51

±

51,
wobei das x/y -separierbare Filter in diesem Fall ca. 50-mal schneller
lauft als ein entsprechendes 2D-Filter. Relativ große Gauß-Filter werden
z. B. beim ” Unsharp Mask“-Filter (Abschn. 7.6.2) benotigt.

×

6.3.4 Impulsantwort eines Filters

Es gibt fur die lineare Faltungsoperation auch ein ” neutrales Element“
-dasnaturlich auch eine Funktion ist -, und zwar die Impuls -oder
Dirac -Funktion δ (), fur die gilt

I ∗ δ = I. (6.27)

Im zweidimensionalen, diskreten Fall ist die Impulsfunktion definiert als
δ ( i, j )= 1 ur i = j =0
0son .

(6.28)

Als Bild betrachtet ist die Dirac-Funktion ein einziger heller Punkt (mit
dem Wert 1) am Koordinatenursprung umgeben von einer unendlichen,
schwarzen Flache (Abb. 6.10). Wenn wir die Dirac-Funktion als Filter-

δ ( i, j )

Abbildung 6.10
Zweidimensionale, diskrete Impuls-
oder Dirac-Funktion.

j

i

funktion verwenden und damit eine lineare Faltung durchfuhren, dann
ergibt sich (gemaß Gl. 6.27) wieder das ursprungliche, unveranderte Bild
(Abb. 6.11).
Der umgekehrte Fall ist allerdings interessanter: Wir verwenden die
Dirac-Funktion als Input und wenden ein beliebiges lineares Filter H an.
Was passiert? Aufgrund der Kommutativitat der Faltung (Gl. 6.17) gilt

H ∗ δ = δ ∗ H = H (6.29)

und damit erhalten wir als Ergebnis der Filteroperation mit δ wieder das
Filter H (Abb. 6.12)! Man schickt also einen Impuls in ein Filter hinein