Fundamentals - Preventive Biomechanics - page 97

F T

ð 4 Þ ð 4 Þ

t ðÞ P II J 2 = 3 F ðÞ P

0 t ðÞ

ðÞ P ðÞ¼

F T

ð 4 Þ

ð 4 Þ F ðÞ P

ð 3 : 262 Þ

t ðÞ P II

0 t ðÞ

¼ ðÞ

F T

h i

ð 4 Þ

ð 3 : 321 Þ 2

ð 4 Þ F ðÞ P

t ðÞ F 1 t ðÞ s 0 t ðÞ F T t ðÞ

ðÞ

ð 4 Þ F ðÞ F 1 t ðÞ
|{z}
F 1
t

ð 3 : 324 Þ

s 0 t ðÞ F T t ðÞ F T ðÞ
|{z}
F T
t

8
<
:

2 3 9

=
;

1
3

ð 4 Þ tr F t ðÞ F 1 t ðÞ
|{z}
I

s 0 t ðÞ F T t ðÞ F T t ðÞ
|{z}
I

4 5 C 1

t

t ðÞ

F T
t

t ðÞ 1

ð 4 Þ

F 1
t

t ðÞ s 0 t ðÞ F T t ðÞ F 1

t

3 trs 0 t ðÞ I

t ðÞ p

t

ð 4 Þ F 1
t

t ðÞ I 1 s 0 t ðÞ F T t ðÞ

ð 4 Þ

1

3 II

t

|{z}
ð 4 Þ

F T
t

ð 4 Þ F 1
t

t ðÞ ð 4 Þ s 0 t ðÞ

t ðÞ

ð 3 : 326 Þ

Substituting ( 3.323 ) and ( 3.326 )in( 3.316 ) and further in ( 3.259 ) 1 finally yields
the constitutive equation for the K IRCHHOFF stress tensor valid for linear-visco-
elastic materials valid for finite strains

p 0 : ¼ df 0 ðÞ
dJ

s ðÞ¼ Jp 0 I þ< s hi with

and < s hi : ¼ s 0 ðÞ ð 4 Þ R

ð 3 : 327 Þ

t

dK t t ð Þ
dt 0

F 1
t

t ðÞ s 0 t ðÞ F T t ðÞ dt 0

t

t 0 ¼ 0

where the derivative of the kernel defined in ( 3.320 ) 3
dK t t ð Þ
dt 0

¼ 1 c
s

e t t s : ð 3 : 328 Þ

was used.

With the abbreviations

s 0 ðÞ s 0 ðÞ and

s 0

ðÞ : ¼ s J0 ðÞ¼ Jp 0 I ð 3 : 329 Þ

and substitution of the kernel ( 3.320 ) 3 by a P RONY series (Simo 1987) (note the
definition G i : ¼ G 0 g i for generating the second identity)