Arithmetic - Signal Processing Systems - page 595

x 1 x W f −3 x W f −2 x W f −1 x W f

y 1 y W f −3 y W f −2 y W f −1 y W f

x W f y 1 x W f y W f −3 x W f y W f −2 x W f y W f −1 x W f y W f

x W f −1 y 1 x W f −1 y 2 x W f − 1 y W f −2 x W f −1 y W f −1 x W f −1 y W f

x 2 y 1 x 2 y 2 x 2 y 3

+

x 1 y 1 x 1 y 2 x 1 y 3 x 1 y 4

z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 2 W f −3 z 2 W f −2 z 2 W f −1 z 2 W f

Fig. 17 Partial product array for unsigned multiplication

− x 0 x 1 x W f −3 x W f −2 x W f −1 x W f

y W f − y 0 y 1 y W f −3 y W f −2 y W f −1

− x W f y 0 x W f y 1 x W f y W f −3 x W f y W f −2 x W f y W f −1 x W f y W f

x W f −1 y 1 x W f −1 y 2 x W f − 1 y W f −2 x W f − 1 y W f −1 x W f −1 y W f

− x W f −1 y 0

− x 1 y 0 x 1 y 1 x 1 y 2 x 1 y 3

+

x 0 y 0 − x 0 y 1 − x 0 y 2 − x 0 y 3 − x 0 y 4

z −1 z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 2 W f −3 z 2 W f −2 z 2 W f −1 z 2 W f

Fig. 18 Partial product array for two's complement multiplication

W f X

i = 1 x i 2 − i W f Y

W f X
i = 1

W f Y
j = 1 x i y j 2 − i − j

j = 1 y j 2 − j

Z = XY = = (22)

This leads to a partial product array as shown in Fig. 17 .
For two's complement data the result is very similar, except that the sign-bit
causes some of the bits to have the negative sign. This can be seen from

=

Z XY

W f X
i = 1 x i 2 − i

W f Y
j = 1 y j 2 − j

=( − x 0 + )( − y 0 + )

W f Y
j = 1 y j 2 − j

W f X
i = 1 x i 2 − i

W f X
i = 1

W f Y
j = 1 x i y j 2 − i − j

= x 0 y 0 − x 0 − y 0 + (23)

The corresponding partial product matrix is shown in Fig. 18 .

3.1.1 Avoiding Sign-Extension

As previously stated, the word lengths of two two's complement numbers should be
equal when performing the addition or subtraction. Hence, the straightforward way