Introduction and theoretical background - Earth Dynamics: Deformations and Oscillations of the Rotating Earth - page 82

Thus, our two further conditions are
f f f f − −

2 1 3 2

x 1 = x 2 ,

(1.552)

x 2 − x 3 −

and

f N − f N − 1 f N − 1 − f N − 2

x N − 1 =

x N − 2 .

(1.553)

x N − x N − 1 −

The second derivatives at the end points are then expressed as

( x 3 − x 1 ) f 2 − ( x 2 − x 1 ) f

f

3

= , (1.554)

1

x 3 − x 2

and

x N − 2 ) f N − 1 − x N − 1 ) f N − 2

( x N − ( x N −

f N =

. (1.555)

x N − 1 − x N − 2

We may write the N − 2 equations in the N second derivatives implied by the

condition (1.550) as,
a i − 1, i − 2 f a i − 1, i − 1 f a i − 1, i f + + = b i − 1, i − 1 f i − 1 + b i − 1, i f i + b i − 1, i + 1 f i + 1 , (1.556)

i − 1 i i + 1

2, with substitution for f 1 from expression (1.554), for i = 2,..., N − 1. For i =

equation (1.550) yields
2 ( x 3 f ( x 3 f

x 1 ) 2 ( x 3 − x 1 )( x 2 − x 1 ) ( x 2 −

− x 1 ) + + − x 2 ) −

2 3

x 3 − x 2 x 3 − x 2

x 1 )
( x 3 − x 2 )( x 2 − x 1 ) f 2

6 ( x 3

−

6
x 2 − x 1 f 1

6
x 3 − x 2 f 3 ,

= − + (1.557)

or

a 11 f a 12 f + = b 11 f 1 + b 12 f 2 + b 13 f 3 , (1.558)

2 3

1, with substitution for f N from expression (1.555), it yields
( x N − 1 − x N − 2 )

while for i = N −

f N − 2

x N − 1 ) 2

( x N −

−

x N − 1 − x N − 2

2 ( x N f N − 1

( x N − x N − 1 )( x N − x N − 2 )
x N − 1 −

+ − x N − 2 ) +

x N − 2

6 6 ( x N − x N − 2 ) 6

=

x N − 2 f N − 2

−

x N − 2 ) f N − 1

+

x N − 1 f N , (1.559)

− − − −

x N − 1 ( x N x N − 1 )( x N − 1 x N

or

a N − 2, N − 2 f N − 1
= b N − 2, N − 2 f N − 2 + b N − 2, N − 1 f N − 1 + b N − 2, N f N .

a N − 2, N − 3 f N − 2 +

(1.560)