Rotating fluids and the outer core - Earth Dynamics: Deformations and Oscillations of the Rotating Earth - page 391

and

∂χ
∂ν

∂ν
∂ z +

∂χ
∂μ

∂ν
∂ z

2

χ
∂ z 2 =

∂ ∂

∂ν

∂ν
∂ z

∂
∂ν

∂μ
∂ z

∂χ
∂μ

∂μ
∂ z +

∂χ
∂ν

∂μ
∂ z .

∂
∂μ

∂μ
∂ z

∂
∂μ

∂ν
∂ z

+ (6.38)

Di ff erentiation of (6.32) yields

ν ν 1 1 μ ν 1

2 2 2

R ∂ν

− − μ ∂ν

∂ z =

−

∂ R =

,

k ν

2 ,

(6.39)

2 2 2

ν − μ − μ

while di ff erentiation of (6.33) yields

μ ν 1 1

2

ν 1

2

2

R ∂μ

− − μ ∂μ

∂ z =

− μ

∂ R =−

,

k ν

2 .

(6.40)

ν

2

− μ

2 2

− μ

With substitution from (6.39) and (6.40), and from (6.24) for R 2 ,itisfoundthat

R ∂χ
∂ R

2

R ∂
∂ R

R 2 ∂

χ
∂ z 2

+

ν ν 1 1

2 ν ν

1 νμ ν 1 1

2 ν

2 2 2 2 2 2

− − μ − − − μ

∂
∂ν

2 ∂χ

∂
∂ν

− 1

2 ∂χ

= −

2 2 2 2 2 2

ν − μ ν − μ ∂ν ν − μ ν − μ ∂μ

μ ν 1 2 1

2

μ 1

2

νμ ν 1 2 1

2

1

2 2 2

− − μ ∂

∂μ

− μ

2 ∂χ

− − μ ∂

∂μ

− μ

2 ∂χ

+ −

2

− μ

2 2

− μ ∂μ

2

− μ

2 2

− μ ∂ν

ν ν ν ν

ν

1 2 1

ν

μ ν 1 2 1

2

2 2 2 2 2

2

μ − − μ ∂

∂ν

− 1

2 ∂χ

− − μ ∂

∂ν

ν

2 ∂χ

+ +

ν

2

− μ

2

ν

2

− μ ∂ν ν

2

− μ

2

ν

2

− μ ∂μ

ν

1 1

2 1

ν ν 1 2 1

2

2 2 2 2 2 2

ν − − μ − − μ

∂
∂μ

− μ

2 ∂χ

∂
∂μ

μ

2 ∂χ

+ +

2 2 2 2 2 2

ν − μ ν − μ ∂μ ν − μ ν − μ ∂ν

ν

1 1

∂
∂ν

ν 1

2 2

− − μ

1 ∂χ
∂ν

+ ∂
∂μ

∂χ
∂μ

2 2

= − − μ . (6.41)

ν

2

− μ

2

In the auxiliary prolate spheroidal co-ordinates, the governing Laplace form of the
Poincare equation then becomes
ν

∂
∂ν

ν 1

1 1

2 2

− − μ

1 ∂χ
∂ν

∂
∂μ

∂χ
∂μ

2 2

m 2 − + − μ − χ = 0. (6.42)

2 2

ν − μ

If we take χ = f (ν)g(μ)exp i ( m φ + ω t ), the variables separate, giving

ν 1

m 2 m 2 1

f

d
d ν

1

df
d ν

1
g

d
d μ

d g
d μ

2 2

− −

1 =−

− μ +

2 =

n ( n + 1), (6.43)

ν

2

− 1 − μ