Weitere asymmetrische Krypto-Verfahren - Kryptografie - page 221

der Kryptografie auf solche Fälle, in denen die Formel wie folgt aufgebaut ist (die
Zahl n muss ungerade und größer als 3 sein, meist ist ihr Wert 5 oder 7):

y 2 = x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0
Mithilfe von hyperelliptischen Kurven lassen sich genauso eine Potenzfunktion
und ein Logarithmus definieren wie mit elliptischen Kurven. Dementsprechend
funktionieren alle Verfahren auf Basis des diskreten Logarithmus auch mit hyper-
elliptischen Kurven. Man spricht in diesem Zusammenhang von Krypto-Syste-
men auf Basis hyperelliptischer Kurven oder von HEC-Verfahren . Die Idee dazu
stammt aus den achtziger Jahren und ist nur unwesentlich jünger als die Einfüh-
rung elliptischer Kurven in die Kryptografie.
HEC-Verfahren sind noch komplexer als ECC-Verfahren. Es erscheint jedoch
möglich, mit derartigen Algorithmen bei gleicher Sicherheit kürzere Schlüssellän-
gen zu realisieren, um so auf kürzere Rechenzeiten zu kommen. In absehbarer
Zeit werden HEC-Verfahren jedoch kaum zur Praxisreife gelangen. Bevor wir
uns um die hyperelliptischen Kurven kümmern, sollten erst einmal die ellipti-
schen im Vordergrund stehen.

13.2.4 HFE

HFE steht für Hidden Field Equations und bezeichnet eine Familie asymmetri-
scher Krypto-Verfahren, die einige interessante Eigenschaften haben. Es gibt
mehrere Vertreter, die nach aktuellem Stand der Forschung für den Praxiseinsatz
geeignet sind.

Mathematische Grundlagen
HFE arbeitet auf Basis von endlichen Körpern, die mit GF( p m·n ) notiert werden.
( p ist eine Primzahl, m und n sind natürliche Zahlen). Der Einfachheit halber
beschränke ich mich im Folgenden auf p =2 und m =1, damit wir im endlichen
Körper GF(2 n ) rechnen können. n kann beispielsweise den Wert 128 annehmen,
wodurch wir es mit 128-Bit-Werten zu tun haben. In HFE spielen vor allem Poly-
nome über GF(2 n ) eine Rolle (also Polynome, deren Koeffizienten und Variablen
aus GF(2 n ) stammen), deren Grad kleiner als n ist.
Im Mittelpunkt von HFE steht die mathematisch beweisbare Tatsache, dass
sich bestimmte Polynome über GF(2 n ) in quadratische Gleichungssysteme
umwandeln lassen. So ist beispielsweise die Polynomfunktion f ( x )= x 5 + x 3 + x äqui-
valent zu folgendem Gleichungssystem (wie diese Umwandlung erfolgt, soll uns
an dieser Stelle nicht interessieren):

f 1 ( x 0 , x 1 , x 2 ) = x 2 +x 2 · x 1 +x 2 · x 0 +x 1
f 2 ( x 0 , x 1 , x 2 ) = x 2 · x 1 +x 1 · x 0 +x 2
f 3 ( x 0 , x 1 , x 2 ) = x 0 +x 2 +x 1 · x 0 +x 2 · x 0