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Elliptische Kurven
Eine elliptische Kurve ist definiert als eine Kurve auf einem Körper, die folgende
Gleichung erfüllt:
y
2
+
a
1
xy
+
a
2
y
=
x
3
+
a
3
x
2
+
a
4
x
+
a
5
Mit hinzugenommen wird zu dieser Definition ein Punkt, der im Unendlichen
liegt und der als
0
bezeichnet wird (nicht zu verwechseln mit dem Nullpunkt des
Koordinatensystems). Man kann zeigen, dass elliptische Kurven (und nur diese)
die folgende interessante Eigenschaft haben: Schneidet eine Gerade eine solche
Kurve, dann gibt es genau drei Schnittpunkte. Dabei treten folgende Fälle auf
(siehe auch Abbildung 13-1):
1.
Bei einer Geraden, die parallel zur
y
-Achse verläuft, ist einer der drei Schnitt-
punkte
0
.
2.
Bei einer Geraden, welche die Kurve berührt, wird der Berührpunkt als dop-
pelter Schnittpunkt gezählt.
3.
Bei allen anderen Geraden sind die drei Schnittpunkte offensichtlich.
P
2
P
1
P
1
+P
2
Abb. 13-2
Zwei Punkte einer elliptischen Kurve werden addiert, indem eine Gerade durch sie gezogen
wird. Das Ergebnis der Addition ist die Spiegelung des dritten Schnittpunkts
der Gerade an der x-Achse.
Durch diese Eigenschaften lässt sich mithilfe elliptischer Kurven eine Gruppe
definieren, die
E
(
K
) genannt wird. Deren Elemente sind die Punkte einer ellipti-
schen Kurve (inklusive
0
). Die Addition ist wie folgt definiert: Zwei Punkte wer-
den addiert, indem eine Gerade durch sie gelegt wird (sind die beiden Punkte
gleich, dann ist es die Tangente). Gemäß obiger Eigenschaft muss es nun einen
dritten Punkt auf der Kurve geben, den diese Gerade schneidet. Die Spiegelung
dieses Punktes an der
x
-Achse ist das Resultat der Addition, wobei die Spiegelung
von
0
wiederum
0
ist.
0
ist das neutrale Element der Gruppe: Es gilt
P
+
0
=
0
+
P
=
P
