Cryptography Reference
In-Depth Information
dieses Buch ist nicht in erster Linie für Mathematiker geschrieben. Wer mehr
Tiefgang sucht, den verweise ich auf die jeweils angegebene Literatur.
13.1
Krypto-Systeme auf Basis elliptischer Kurven
Der größte Nachteil von asymmetrischen Verfahren ist, dass sie im Vergleich zu
den symmetrischen recht aufwendig sind. Daran wird sich zwar so schnell nichts
ändern, doch es gibt immerhin Möglichkeiten, den Vorsprung der symmetrischen
Verfahren etwas zu verkleinern. Ein Ansatz dazu sind die
Krypto-Systeme auf
Basis elliptischer Kurven
. Diese werden auch als
ECC-Verfahren
bezeichnet,
wobei ECC für
Elliptic Curve Cryptography
steht. ECC-Verfahren sind keine
eigenständigen kryptografischen Algorithmen. Vielmehr handelt es sich dabei um
Vertreter der Ihnen bereits bekannten Verfahren auf Basis des diskreten Logarith-
mus (etwa Diffie-Hellman, MQV oder DSA), die jedoch auf eine besondere Weise
implementiert werden. Um das vorliegende Kapitel verstehen zu können, sollten
sie daher mit dem diskreten Logarithmus und den darauf basierenden Verfahren
vertraut sein.
13.1.1
Mathematische Grundlagen
Wie Sie aus Abschnitt 11.1.1 bereits wissen, ist ein Körper eine Menge, auf der
zwei Verknüpfungen definiert sind. Diese werden meist als Addition und Multi-
plikation bezeichnet. Ein Körper ist bezüglich der Addition eine Gruppe, außer-
dem bildet er ohne die Null auch eine Gruppe bezüglich der Multiplikation. Der
bekannteste Körper ist die Menge der reellen Zahlen, auf der Addition und Mul-
tiplikation auf bekannte Weise definiert sind. Wie Ihnen ebenfalls bereits bekannt
ist, gibt es zu jeder Primzahl
p
einen Körper mit
p
Elementen, der GF(
p
) genannt
wird. Dabei fungiert die Modulo-Addition als Addition und die Modulo-Multi-
plikation als Multiplikation.
Eine weitere beweisbare Tatsache habe ich jedoch noch nicht erwähnt: Für
jede Primzahl
p
und jede natürliche Zahl
n
gibt es genau einen Körper mit
p
n
Ele-
menten. Ist
n
=1, dann haben wir den Spezialfall, in dem die Modulo-Rechnung
angewendet werden kann. Im Folgenden werden wir nur die beiden Spezialfälle
n
=1 und
p
=2 betrachten. Es geht also um GF(
p
) und GF(2
n
). Mit diesen Galois-
Feldern lassen sich ECC-Verfahren am besten realisieren. Mit GF(
m
) bezeichne
ich im Folgenden einen beliebigen Körper der Form GF(
p
) oder GF(2
n
).
