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AbbildungA.1.
Ausschnitt aus der Mandelbrotmenge (Apfelmannchen), generiert mit
dem Programm
mandelbrot.mms
. Schwarz sind die Werte von
c
,fur die
z
k
+1
=
z
k
+
c, z
0
= 0 konvergiert
A.3.1 Darstellung der Mandelbrotmenge
Das folgende Programm erzeugt eine Bitmap-Datei, die einen Ausschnitt der
so genannten Mandelbrotmenge darstellt [29] (auch unter dem Namen Ap-
felmannchen bekannt; siehe Abbildung A.1).
Fur Punkte
c
=
p
+
iq
der komplexen Ebene wird jeweils ausgehend vom
komplexen Nullpunkt
z
0
=0eineFolge
z
k
=
x
k
+
iy
k
betrachtet, nach der
Gleichung:
z
k
+1
=
z
k
+
c
(2)
Die Folge der
z
k
konvergiert fur unterschiedliche Werte von
c
entweder gegen
0 oder sie divergiert. Der Bereich der komplexen Ebene, in dem die Folge kon-
vergiert, heißt Mandelbrot-Menge. Bei der grafischen Darstellung werden die
Punkte der Mandelbrot-Menge schwarz gezeichnet und allen anderen Punk-
ten wird eine Farbe zugeordnet, die umso heller ist, je langsamer die Folge
divergiert. Numerisch bedeutet dies, dass fur jedes betrachtete
c
iterativ so-
lange Werte der Folge
x
k
berechnet werden, bis entweder
r
=
x
k
+
y
k
großer
als eine gegebene Schranke
M
wird (im Beispiel 300) oder bis die Anzahl der
Iterationen eine Schranke
K
ubersteigen (im Beispiel 255). Falls die Anzahl
der Iterationen
K
ubersteigt, ohne dass
r>M
gilt, so wird der Punkt
c
der
Mandelbrot-Menge zugeschlagen.
Wir drucken hier lediglich den Kern des Programms ab. Weitere Angaben zur
Definition der Datenstruktur fur die Bitmap und das Schreiben der Bitmap
auf Datei stehen in [1] oder konnen von der Webseite zum Buch herunter-
