Graphics Reference
In-Depth Information
and
t
v
2
2
=−
t
·
v
±
·
−
t
+
r
2
Simplifying the discriminant:
−
x
t
+
z
t
v
2
2
z
t
z
v
2
r
2
r
2
y
t
+
t
·
−
t
+
=
+
x
t
x
v
+
y
t
y
v
+
x
t
x
v
+
y
t
y
v
+
x
t
x
v
y
t
y
v
+
x
t
x
v
z
t
z
v
+
x
t
x
v
y
t
y
v
+
y
t
y
v
z
t
z
v
+
r
2
=
+
z
t
z
v
+
x
t
−
y
t
−
z
t
x
t
x
v
z
t
z
v
+
y
t
y
v
z
t
z
v
−
+
x
t
x
v
−
1
+
y
t
y
v
−
1
+
z
t
z
v
−
1
+
2y
t
y
v
z
t
z
v
r
2
=
2x
t
x
v
y
t
y
v
+
2x
t
x
v
z
t
z
v
+
−
x
t
y
v
+
z
v
+
y
t
z
v
+
x
v
+
z
t
x
v
+
y
v
−
2z
t
z
v
x
t
x
v
r
2
=
2x
t
x
v
y
t
y
v
−
2y
t
y
v
z
t
z
v
−
−
x
t
y
v
+
2z
t
z
v
x
t
x
v
r
2
x
t
z
v
+
y
t
z
v
+
y
t
x
v
+
z
t
x
v
+
z
t
y
v
−
=
2x
t
x
v
y
t
y
v
−
2y
t
y
v
z
t
z
v
−
−
x
v
y
t
−
z
t
x
v
2
r
2
x
t
y
v
2
y
t
z
v
2
=
+
y
v
z
t
−
+
z
v
x
t
−
2
2
2
x
v
y
v
x
t
y
t
y
v
z
v
y
t
z
t
z
v
x
v
z
t
x
t
r
2
=
−
−
−
Therefore,
2
2
2
x
v
y
v
x
t
y
t
y
v
z
v
y
t
z
t
z
v
x
v
z
t
x
t
=−
x
t
x
v
+
y
t
y
v
+
z
t
z
v
±
r
2
−
−
−
(6.17)
The value of the discriminant of Eq. (6.17) determines whether the line intersects, is tangential,
or misses the sphere:
Miss condition
2
2
2
x
v
y
v
x
t
y
t
y
v
z
v
y
t
z
t
z
v
x
v
z
t
x
t
r
2
−
−
−
< 0
Tangential condition
2
2
2
x
v
y
v
x
t
y
t
y
v
z
v
y
t
z
t
z
v
x
v
z
t
x
t
r
2
−
−
−
=
0
Intersect condition
2
2
2
x
v
y
v
x
t
y
t
y
v
z
v
y
t
z
t
z
v
x
v
z
t
x
t
r
2
−
−
−
> 0
Now let's consider a line intersecting an ellipsoid and reveal the similarity in formulas between
circle and ellipse with sphere and ellipsoid.
