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aus der gleichen Restklasse ersetzen. Es ist üblich, statt einer Restklasse R a ihren „Repräsen-
tanten“ a zu schreiben, wobei entsprechend (2.1-2) für a gilt a
[0, n1]. Die Menge der Reste
[0, n1] wird oft als
¢
bezeichnet.
n
¢
[0, n
1]
{0, 1, 2, ...n
1}
(2.1-5)
n
Wenn wir mit dem endlichen Zahlenbereich {0, 1, … n1} rechnen wollen, dann müssen wir
uns um die axiomatische Basis für die Arithmetik modulo n kümmern. Auch die aus der Schu-
le bekannte elementare Algebra baut auf Axiomen auf.
2.1.2 Axiome für Gruppe, Ring und Körper
Die Algebra wird durch 11 Axiome begründet. Sie sind die Basis für das Rechnen z.B. mit
rationalen Zahlen (darstellbar als Bruch ganzer Zahlen). Damit wir die Rechenregeln der Al-
gebra auch für die Arithmetik modulo n anwenden können, müssen wir zeigen, dass die Axio-
me auch modulo n erfüllt sind.
Es wird eine endliche oder nicht-endliche Menge von Elementen {a, b, c, …} vorausgesetzt.
Eine Algebra mit den folgenden Axiomen wird genannt
1 bis 4 eine Gruppe
1 bis 8 ein Ring
1 bis 11 ein Körper (englisch „field“)
Axiome für Gruppe, Ring und Körper
1. Die Summe a+b von zwei beliebigen Elementen a und b ist definiert und ebenfalls Ele-
ment der Menge.
2. Die Bildung von Summen ist assoziativ: (a+b)+c = a+(b+c)
3. Es gibt ein „Nullelement“ 0, so dass für jedes beliebige Element a gilt: a+0 = a
4. Zu jedem Element a gibt es ein „additiv inverses“ Element a -1 , wobei a+a 1 = 0
5. Die Summe ist kommutativ: a+b = b+a
6. Das Produkt a·b von zwei beliebigen Elementen a und b ist definiert und ebenfalls Ele-
ment der Menge.
7. Die Bildung von Produkten ist assoziativ: (a·b)·c = a·(b·c)
8. Es gilt das distributive Gesetz: a·(b+c) = a·b+a·c
9. Die Bildung des Produkts ist kommutativ: a·b = b·a
10. Es gibt ein „Einselement“ 1, so dass für jedes beliebige Element a gilt: a·1 = a
11. Zu jedem Element a0 gibt es ein multiplikativ inverses Element a 1 , wobei a·a 1 = 1 gilt.
Bedeutung von Gruppe, Ring und Körper
Es sind definiert:
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