Cryptography Reference
In-Depth Information
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14
12
10
8
6
4
2
Q
R
P
Abb. 4-8: Addition der Punkte P+Q=R
auf der diskreten Kurve
0
0
2
4
6
8
10
12
14
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20
22
Um die Rechenweise zu verdeutlichen, berechnen wir die Koordinaten von R in Abb. 4-8
analytisch. Die Punkte, die wir als Beispiel addieren wollen, sind P(2, 7) und Q(14,14) .
Entsprechend (4.5-14) ist
7
87
8
1
4
y
y
x
x
modp
(14
7)(14
2)
1
mod23
7 12
1
mod23
2
1
2
1
Die multiplikativ inverse Zahl zu (12)mod23 ist 2, also ist
4
14
. Damit ergibt sich mit
2
2
(4.5-11)
x
4
(
x
x ) mod p
(14
2
14) mod 23
180 mod 23
19
und mit (4.5-12)
R
1
2
y
4
(x
x )
y mod p
(2
19) 14
7 mod 23
245 mod 23
8
. Das ist das Ergebnis,
R
1
3
1
das in Abb. 4-8 als Punkt R markiert ist.
Man kann sich fragen, ob die Summe R=P+Q von zwei Punkten wieder einen Punkt der disk-
reten elliptischen Kurve ergibt. Dies ist einfach einzusehen: Für den Fall der reellen Zahlen
wurden die Formeln (4.5-11) und (4.5-12) so abgeleitet, dass der Summenpunkt R auf der
elliptischen Kurve liegt. Ein „Punkt R liegt auf der elliptischen Kurve“ ist gleichbedeutend,
dass für diesen Punkt R(x,y) die Beziehung (4.5-1) erfüllt ist. Da (4.5-1) allgemein gilt, gilt sie
auch modulo p. Somit ist auch im diskreten Fall der Summenpunkt ein Punkt der diskreten
elliptischen Kurve.
Beispiele mit selbst gewählten kleinen Parametern -- sowohl für den diskreten wie den reellen
Fall -- können in CrypTool visualisiert werden: siehe Menü Einzelverfahren \ Zahlentheorie
interaktiv \ Punktaddition auf Elliptischen Kurven.
4.5.6
Standardisierte Kurven
Ein wichtiges Merkmal der Kurven (Punktmengen) in Abb. 4-7 ist die Tatsache, dass je nach
Wert von a und b die Anzahl der Punkte auf der Kurve unterschiedlich ist. Wenn man Krypto-
systeme auf der Basis von elliptischen Kurven verwendet, dann müssen alle beteiligten Partei-
