Cryptography Reference
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2
x
4
2x
(4.5-13)
R
1
Somit haben wir nun Formeln für Addition und Multiplikation beliebiger Punkte auf der ellip-
tischen Kurve. Die Multiplikation n·P kann auch für sehr große Werte von n durch Verdoppe-
lungen und Additionen mit P zusammengesetzt werden (vgl. Kap. 4.1.3).
4.5.5 Elliptische Kurven im diskreten Fall
Bis jetzt haben wir die Definition der Addition auf der elliptischen Kurve geometrisch und
analytisch im Bereich der reellen Zahlen R betrachtet. Für kryptographische Zwecke sind
jedoch reelle Zahlen R ungeeignet, denn die zu verschlüsselnden Zeichen entstammen diskre-
ten Wertemengen. Wie sonst auch, werden finite Körper genutzt.
Bei den elliptischen Kurven hat man 2 Möglichkeiten. Man arbeitet entweder modulo einer
Primzahl, also im finiten Körper
F (Galois-Feld GF(p)) oder in einem binärem Körper vom
Grad m, man schreibt dann
F . Im zweiten Fall sind die Zusammenhänge etwas komplizier-
ter. Wir werden uns auf den einfacheren Fall F beschränken, da wir die nötige Mathematik
dazu schon kennen. In diesem Fall sind die Elemente des Körpers ganze Zahlen und alle Ope-
rationen werden modulo p durchgeführt.
m
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
a = 3, b = 1, in GF(23)
a = 5, b = 3, in GF(23)
Abb. 4-7: Elliptische Kurven im diskreten Fall
Im diskreten Fall gelten alle Formeln, die wir bisher verwendet haben, modulo p. Wir können
leicht nachvollziehen, dass wir bei den Formeln (4.5-11), (4.5-12) und (4.5-13) ohne Schwie-
rigkeiten modulo p rechnen können. Die Formeln (4.5-4) und (4.5-5) können wir folgender-
maßen umschreiben:
7
87
8
1
4
yyxx m dp
(4.5-14)
2
1
2
1
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