Cryptography Reference
In-Depth Information
yy
xx
2
1
(4.5-4)
4
2
1
Im Falle der Tangente ist die Steigung
6
g
2
2
3x
a
3x
a
6
x
4
1
1
(4.5-5)
6
6
2y
2y
g
1
1
y
2 3
yx xb0
(g bezeichnet darin die Gleichung der Kurve in der Form
)
Wir setzen nun (4.5-3) in (4.5-1) ein und erhalten die folgende Gleichung:
7
8
2
3
4
xv
x axb0
(4.5-6)
Ausmultipliziert ergibt das:
3
2
2
2
4 5 5
x
x
(2
a)x
(
b)
0
(4.5-7)
Nullstellen von (4.5-7) gelten für Punkte (x,y), die sowohl auf der Geraden als auch auf der
Kurve liegen, also für Schnittpunkte. Von dieser Gleichung kennen wir schon entweder 2
Nullstellen (also die Punkte P und Q im Fall der Addition) oder die eine doppelte Nullstelle
(den Punkt P im Falle der Addition von P zu sich selbst). Wir betrachten der Einfachheit hal-
ber den ersten Fall und nehmen an, dass der dritte Schnittpunkt die Koordinaten
(x , y ) hat.
33
Wir kennen dann alle 3 Nullstellen von (4.5-7) und können schreiben:
(xx (xx (xx)0
(4.5-8)
1
2
3
3
2
Wenn wir (4.5-8) ausmultiplizieren und die Koeffizienten von
x
und
x
mit (4.5-7) verglei-
chen, dann ergibt sich:
2
2
c1 d
4
xxx
9
x
4
xx
(4.5-9)
1
2
3
3
1
2
Damit ist die x-Koordinate des dritten Schnittpunktes bekannt. Wir setzen in (4.5-3) die Punk-
te 1 und 3 ein,
yx
4 595 4
yx
und
y
4 5
x
, und erhalten schließlich
1
1
1
1
3
3
y
4 4
x
y
x
(4.5-10)
3
3
1
1
Das ist die y-Koordinate des dritten Schnittpunkts. Der dritte Schnittpunkt ist noch nicht das
Ergebnis der Addition. Das endgültige Ergebnis erhalten wir, indem wir diesen Punkt an der
xAchse spiegeln. Es gilt also
. Letztendlich ergeben sich die analyti-
schen Formeln für die Addition aus (4.5-9) und (4.5-10):
xx
und
y
y
R
3
R
3
2
x
4
x
x
(4.5-11)
R
1
2
y(xx)
4
y
(4.5-12)
R
1
3
1
Falls wir den Punkt P zu sich selbst addieren (Verdopplung von P), dann ändert sich nur die
Formel für die x-Koordinate, wobei in (4.5-11) x
2
auf x
1
fällt:
