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R
R*
P
Abb. 4-6: Berechnung von 2P
Durch diese Definitionen formen wir mit den Punkten der elliptischen Kurve und dem Punkt
im Unendlichen eine Gruppe. Wir können nun sehen, dass alle Eigenschaften der Gruppe ge-
lten:
Die Addition ist für beliebige Elemente der Gruppe definiert
Die Addition ist assoziativ: (P+Q)+R=P+(Q+R)
Es existiert ein Null-Element, so dass P+0=0+P=P für alle P gilt
Für alle P existiert das additiv inverse Element -P, so dass P+(-P)=0
Neben der Addition von nP+P kann man durch Addition zu sich selbst von nP+nP eine skalare
Multiplikation begründen. Addition und Multiplikation erlauben es, auch für sehr große Werte
von n das skalare Produkt nP zu berechnen (vergleiche das Verfahren zur Berechnung sehr
großer Potenzen in 4.1.3).
Addition :
n P
P
(n
1) P
Multiplikation :
n P
n P
2 n P
(4.5-2)
4.5.4 Bestimmung algebraischer Formeln für die Addition
Wir werden nun Formeln bestimmen, die es uns erlauben, die Ergebnisse von Addition und
Multiplikation rechnerisch zu bestimmen. Wir werden dazu die Schnittpunkte der Geraden
yx
4 5
(4.5-3)
mit der elliptischen Kurve, die durch Formel (4.5-1) definiert ist, bestimmen. Wenn wir zwei
unterschiedliche Punkte addieren wollen, dann nehmen wir an, dass die Gerade (4.5-3) die
elliptische Kurve in den Punkten
Q(x , y ) schneidet. Wenn wir einen Punkt zu
sich selbst addieren, dann verläuft die Gerade tangential zur Kurve am Punkt
P(x , y ) und
11
22
P(x , y ) .
11
Wenn zwei Schnittpunkte existieren, dann ist die Steigung der Geraden durch P und Q
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