Cryptography Reference
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Die vertikale Gerade durch R* schneidet die Kurve in dem Punkt R. R ist die Spiegelung
von R* bezüglich der x-Achse.
Der Punkt R ist die „Summe“ von P und Q.
Ein Beispiel zeigt Abb. 4-4.
Die Punkte R* und R werden als additiv invers zueinander definiert, man schreibt dann
R=R*.
P
-P
Abb. 4-5: Addition von P und -P.
Der dritte Schnittpunkt der Geraden „P/P“
mit der Kurve liegt im Unendlichen und wird
als „0“ (Null) definiert.
Abb. 4-5 zeigt was passiert, wenn man P und -P addiert. Die Gerade durch P und -P verläuft
vertikal und schneidet daher die Kurve in keinem dritten Punkt. Um die Gruppe zu schließen,
definiert man als Ergebnis dieser Addition den Punkt im Unendlichen, den man 0 (Null) nennt.
Der Punkt im Unendlichen ist das Nullelement der Additionsoperation auf der elliptischen
Kurve. Es gilt P+(-P)=0 für jeden Punkt P der Kurve. Man definiert auch P+0=P für alle P.
Abb. 4-6 zeigt die Addition eines Punktes P zu sich selbst, also wenn man P „verdoppelt“. Die
Gerade durch P ist eine Tangente der elliptischen Kurve. Es wird wiederum der Punkt R* als
weiterer Schnittpunkt der Geraden durch P mit der Kurve bestimmt und R*=R als Ergebnis
von P+P=2P definiert. Wir können mit Hilfe dieser Operation das Ergebnis jeder Skalar-
Multiplikation eines Punkts P mit einer ganzen Zahl berechnen. Es gilt z.B. 3P=2P+P,
7P=2P+2P+2P+P usw.
Auch hier gibt es den Fall der vertikalen Tangente, die die Kurve in keinem weiteren Punkt
schneidet. In diesem Fall wird wieder als Ergebnis der Addition P+P, bzw. der Multiplikation
2P, der Punkt 0 definiert.
