Asymmetrische Chiffren - Kryptographie und IT-Sicherheit - page 136

4.5.2 Mathematische Grundlagen
Eine elliptische Kurve ist eine ebene Kurve, die durch eine Gleichung der folgenden Form
definiert ist:

2 3
yx xb

(4.5-1)

Wir betrachten diese Gleichung im Bereich R der reellen Zahlen. Die Parameter a und b sind
dann ebenfalls reelle Zahlen. Einige Beispiele, wie elliptische Kurven für verschiedene Para-
meterwerte a und b aussehen, sind in Abb. 4-3 angegeben:

a = 3, b = 5 a = 4, b = 1

a = 3, b = 2 a = 3, b = 2

Abb. 4-3: Elliptische Kurven für verschiedene Parameterwerte von a und b

Damit man mit Hilfe der Kurve rechnen kann, wird auf der Kurve eine Additionsoperation für
Punkte definiert. Man erstellt eine Vorschrift, wie die „Summe“ zweier beliebiger Punkte der
Kurve berechnet werden kann. Mit dieser Additionsoperation und den Punkten der Kurve wird
eine additive Gruppe erzeugt. Die Eigenschaften einer Gruppe sind uns schon bekannt (siehe