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Das multiplikativ inverse Polynom lautet a
1
(x)=x
6
+x
3
+x={01001010}.
Weisen Sie nach, dass die Polynome a(x)={00011111} und a
1
(x)={01001010} bezüglich
(x
8
+1) multiplikativ invers sind.
Lösung
{00011111}·{01001010}
Produkt
00011111
00011111
00011111
00011100000110
...Ergebnis der Multiplikation mod2
100000001 ...modulo M(x)=x
8
+1
100000001 ... dto
100000001
... dto
00000000
1
...Ergebnis mod 2, modulo M(x) ist 1
Die Elemente sind zueinander multiplikativ invers.
Hexadezimal: {1f}·{4a}={01} (modulo M(x)=x
8
+1)
Übung 5
Stellen Sie die Transformation mit a
1
(x)={01001010} in Matrixform entsprechend (2.6-6)
dar. Prüfen Sie, ob die inverse Transformation des Ergebnisses c=(c
0
...c
7
) von Übung 2 wieder
auf den ursprünglichen Wert b=(b
7
...b
0
)=(00000111) führt.
Lösung
In der Lösung von Übung 3 sahen wir, dass in der obersten Zeile der 8x8-Matrix die Koeffi-
zienten des Polynoms a(x) in der Reihenfolge (a
0
a
7
a
6
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
) auftreten, also um eine
Position zyklisch nach rechts verschoben sind. Die nachfolgenden Zeilen sind je um eine wei-
tere Position zyklisch nach rechts verschoben. Entsprechend a
1
(x)={01001010} lautet die
Koeffizientenfolge der obersten Zeile der 8x8-Matrix {00100101}.
In der Matrix-Multiplikation ist in der Spalte ganz rechts das Ergebnis von Übung 2 eingetra-
gen: c=(c
7
...c
0
)=(01011101). Als Ergebnis der Matrix-Multiplikation ergibt sich wieder das
ursprüngliche Eingangs-Byte b=(b
7
...b
0
)=(00000111)
1 0 0 1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0 0 1 1
0 = 1 0 1 0 0 1 0 0 · 1
0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1 0 1 0 0
