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the matrix inversion lemma formulated in Lemma 4.1. If we set the equivalences
A
x
T
≡
λ
A
n
−
1
,
D
≡
1,
B
≡
x
(
n
)
, and
C
≡
(
n
)
arrive at:
1
−
λ
−
2
A
−
1
A
−
1
n
x
T
(
)
(
)
1
x
n
n
A
−
1
n
=
λ
−
1
A
−
1
n
n
−
−
1
.
(5.50)
−
A
−
1
n
+
λ
−
1
x
T
1
(
n
)
1
x
(
n
)
−
Replacing (
5.50
)in(
5.49
) we obtain:
1
b
n
−
1
−
λ
−
1
A
−
1
x
T
A
−
1
n
1
x
(
n
)
(
n
)
1
b
n
−
1
n
−
−
A
−
1
n
+
λ
−
1
A
−
1
n
w
(
n
)
=
1
x
(
n
)
d
(
n
)
−
−
A
−
1
n
−
+
λ
−
1
x
T
1
(
n
)
1
x
(
n
)
−
λ
−
2
A
−
1
A
−
1
x
T
n
−
1
x
(
n
)
(
n
)
n
−
1
x
(
n
)
d
(
n
)
.
(5.51)
A
−
1
n
+
λ
−
1
x
T
(
)
(
)
1
n
1
x
n
−
A
−
1
n
Firstly, we notice that
w
1
b
n
−
1
. Also notice that the last two terms in
the previous equation can be combined into
k
(
n
−
1
)
=
−
(
n
)
d
(
n
)
, where:
λ
−
1
A
−
1
n
1
x
(
n
)
−
k
(
n
)
=
)
.
(5.52)
A
−
1
n
1
+
λ
−
1
x
T
(
n
)
1
x
(
n
−
Using these observations, Eq. (
5.51
) can be written as:
d
x
T
w
(
n
)
=
w
(
n
−
1
)
+
k
(
n
)
(
n
)
−
(
n
)
w
(
n
−
1
)
.
(5.53)
x
T
Defining
ζ(
n
)
d
(
n
)
−
(
n
)
w
(
n
−
1
)
as the
a priori estimation error
[
7
], the LS
solution to (
5.43
) takes the form:
w
(
n
)
=
w
(
n
−
1
)
+
k
(
n
)ζ(
n
).
(5.54)
The operation of the algorithm can be summarized as follows:
0. Compute
A
−
1
−
1
=
δ
−
1
I
L
.
•
Set
n
=
0. Choose
w
(
−
1
)
=
0
,0
<λ
≤
1 and
δ>
•
At time instant
n
, after receiving
d
(
n
)
and
x
(
n
)
, calculate:
λ
−
1
A
−
1
n
−
1
x
(
n
)
k
(
n
)
=
.
A
−
1
n
1
+
λ
−
1
x
T
(
n
)
1
x
(
n
)
−
A
−
1
=
λ
−
1
A
−
1
n
1
−
λ
−
1
k
A
−
1
n
x
T
(
)
(
)
n
n
n
−
−
1
x
T
ζ(
n
)
=
d
(
n
)
−
(
n
)
w
(
n
−
1
)
w
(
n
)
=
w
(
n
−
1
)
+
k
(
n
)ζ(
n
)
