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der Vertauschbarkeit von Zeit und Frequenz ist es möglich, ein Abtasttheorem
für Spektren und eins für Zeitfunktionen anzugeben [HÖH 75]. Wir werden
uns hier auf das Abtasttheorem für Zeitfunktionen beschränken. Dieses ist
eine wichtige theoretische Grundlage für die gesamte moderne Nachrichten-
übertragung. Es besagt:
Eine Zeitfunktion, deren Spektrum nur Spektralkomponenten im Bereich von
0
bis
f
g
enthält, ist vollständig bestimmt, wenn die Funktionswerte zu dis-
kreten Zeitpunkten bekannt sind.
Der Abstand dieser Zeitpunkte muss der Bedingung genügen:
1
2
f
g
.
t
A
≤
(4.1)
Beweis:
Es seien
+
ω
g
f
(
t
)=
1
2
π
f
(
ω
)
e
jωt
d
ω,
−ω
g
+
∞
f
(
t
)
e
−jωt
d
t.
f
(
ω
)=
−∞
f
(
ω
)
werde jetzt im gesamten Frequenzbereich periodisch fortgesetzt und ist
damit durch die Fourierreihenentwicklung darstellbar:
+
∞
k
n
e
−jn
2
f
g
,
damit
f
(
ω
)=
n
=
−∞
+
ω
g
+
∞
f
(
t
)=
1
2
π
n
2
f
g
)
d
ω,
e
jω
(
t−
k
n
n
=
−∞
−ω
g
+
ω
g
2
f
g
)
d
ω
=2
f
g
sp
2
πf
g
t
,
1
2
π
n
2
f
g
n
e
jω
(
t−
−
−
ω
g
1
2
f
g
,
t
A
=
