Bewertung von Kanalkodes - Informations-und Kodierungstheorie - page 263

Ist die Schrittfehlerwahrscheinlichkeit p s 1 , dann erhält man durch Auflö-
sung des Binoms

n
0

n
1

n
2

n− 2 p s − ... + ... n
n

n n p s − n− 1 p s +

1 0 p s (1 − p s ) = 1 1 1

n
2

p s −

... + ... p s =1 − np s +

≈ 1 − np s

als Näherungswert für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit

p B ( n ) ≈ np s . (9.12)

Beispiel 9.2.1
Gegeben sei ein SBK mit einer Schrittfehlerwahrscheinlichkeit p s =10 − 2 ,bei
dem die Fehler unabhängig voneinander auftreten.
Es ist zu berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit w Elemente ( w =0 , 1 , ...,
n ) in einem Kanalkodewort der Länge n =10 verfälscht werden und wie groß
die Blockfehlerwahrscheinlichkeit p B (10) ist.
Lösung:
Nach Gl. (9.9) ergeben sich die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
w w p s

n−w

(1 − p s ) p ( e w )

0 1 1 0 , 90438 0 , 90438

10 10 − 2 1 0 , 91352 0 , 09135

2 45 10 − 4 0 , 92274 0 , 00415

3 120 10 − 6

0 , 93207 0 , 00011

4 210 10 − 8 ≈ 2 · 10 − 6

0 , 94148

5 252 10 − 10 0 , 95099 ≈ 2 · 10 − 8

6 210 10 − 12 ≈ 2 · 10 − 10 0 , 96060

7 120 10 − 14 ≈ 10 − 12 0 , 97030

8 45 10 − 16 0 , 9801 ≈ 10 − 15

10 10 − 18 ≈ 10 − 17

9 0 , 99

10 1 10 − 20 1 , 0 10 − 20

Durch Summierung der p ( e w ) für w =1 , 2 , ..., 10 gemäß Gl. (9.10) ist p B (10) =
0 , 09562 (= 1 − p ( e 0 )) .
Der Näherungswert nach Gl. (9.12) mit p B (10) ≈ 10 · 0 , 01 = 0 , 1 entspricht
etwa obigem Wert.

Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass der Anteil der Fehlermuster mit einem