Cryptography Reference
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Damit lassen sich nun die Wahrscheinlichkeiten
p
t
+1
(
i
)
für fehlerhaft entschie-
dene Bits an den Positionen
i
zum Zeitpunkt
t
+1
im Zustand
σ
berechnen
29
:
(1
− p
f
(Δ
t
+1
))
·p
σ
t
(
i
)+
p
f
(Δ
t
+1
)
·
(1
− p
σ
t
(
i
))
u
(
i
)
=
u
(
i
)
σ
σ
p
t
+1
(
i
)=
.
(8.59)
p
σ
t
(
i
)
sonst
p
σ
t
(
i
)
ist die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Entscheidung des Bits
u
(
i
)
aus vorhergehenden Entscheidungen, die zum betrachteten Survivor führten.
Bei
u
(
i
)=
u
(
i
)
ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nicht von der gerade getrof-
fenen Entscheidung beeinflusst. Ist dagegen
u
(
i
)
=
u
(
i
)
, widerspiegelt die
Berechnung von
p
t
+1
(
i
)
zwei Zusammenhänge:
Der erste Term multipliziert die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entschei-
dung
(1
− p
f
(Δ
t
+1
))
mit der Wahrscheinlichkeit
p
σ
t
(
i
)
,dassesbereitsbeivor-
hergehenden Entscheidungen für den Survivor zu Fehlern gekommen ist.
Der zweite Term geht von einer fehlerhaften Entscheidung aus. Die entspre-
chende Wahrscheinlichkeit
p
f
(Δ
σ
p
σ
t
(
i
))
multipliziert, dass das Bit in vorhergehenden Entscheidungen richtig entschie-
den wurde.
Am Dekodierungsende erhält man die „geschätzten“ Wahrscheinlichkeiten
σ
t
+1
)
wird mit der Wahrscheinlichkeit
(1
−
p
(
i
)
für eine fehlerhafte Entscheidung der geschätzten Informationsbits
u
(
i
)
(
i
=
0
,
1
, ..., l −
1
) aus der Rückverfolgung der wahrscheinlichsten Kanalkodefolge.
Die Zuverlässigkeit für das geschätzte Bit
u
(
i
)
leitet sich dann wie folgt ab:
L
(
u
(
i
)) =
ln
1
−
p
(
i
)
.
(8.60)
p
(
i
)
Im Weiteren hat man versucht, diese Berechnung zu vereinfachen, zumal die
Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten kleine und damit auch ungenaue Wer-
te liefert. Durch die Einführung der Log-Likelihood-Algebra [HAG 94]
30
kann
die Berechnung
direkt
über Zuverlässigkeiten erfolgen. Es entfällt damit die Be-
rechnung der Wahrscheinlichkeit einer fehlerhaften Entscheidung (Gl. (8.58)).
29
Statistische Unabhängigkeit zwischen
p
t
+1
(
i
)
und
p
f
(Δ
t
+1
)
wird vorausgesetzt. Diese ist
für die meisten praktischen Kodes gegeben.
30
Log-Likelihood-Algebra (
L
-Algebra) für eine binäre Zufallsvariable
x ∈{
+1
, −
1
}
:
P
(
x
= +1)
P
(
x
=
−
1)
L
(
x
)=ln
.
Das Vorzeichen von
L
(
x
)
bestimmt die harte Entscheidung, der Betrag von
|L
(
x
)
|
gibt die
Zuverlässigkeit dieser Entscheidung an.
Der
L
-Wert für statistisch unabhängige Zufallsvariablen
x
1
und
x
2
ist definiert mit:
L
(
x
1
⊕x
2
)=ln
1+
e
L
(
x
1
)
e
L
(
x
2
)
e
L
(
x
1
)
+
e
L
(
x
2
)
≈
sign
L
(
x
1
)
sign
L
(
x
2
)min
{|L
(
x
1
)
|, |L
(
x
2
)
|} .
(8.61)
Die Zuverlässigkeit der Modulo-2-Addition ist durch die Variable mit der geringeren Zu-
verlässigkeit bestimmt. Der Approximationsfehler ist am größten, wenn die Beträge
|L
(
x
1
)
|
und
|L
(
x
2
)
|
gleich sind.