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Damit lassen sich nun die Wahrscheinlichkeiten p t +1 ( i ) für fehlerhaft entschie-
dene Bits an den Positionen i zum Zeitpunkt t +1 im Zustand σ berechnen 29 :
(1 − p f
t +1 )) ·p σ t ( i )+ p f
t +1 ) · (1 − p σ t ( i )) u ( i ) = u ( i )
σ
σ
p t +1 ( i )=
. (8.59)
p σ t ( i )
sonst
p σ t ( i ) ist die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Entscheidung des Bits u ( i )
aus vorhergehenden Entscheidungen, die zum betrachteten Survivor führten.
Bei u ( i )= u ( i ) ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nicht von der gerade getrof-
fenen Entscheidung beeinflusst. Ist dagegen u ( i ) = u ( i ) , widerspiegelt die
Berechnung von p t +1 ( i ) zwei Zusammenhänge:
Der erste Term multipliziert die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entschei-
dung (1 − p f
t +1 )) mit der Wahrscheinlichkeit p σ t ( i ) ,dassesbereitsbeivor-
hergehenden Entscheidungen für den Survivor zu Fehlern gekommen ist.
Der zweite Term geht von einer fehlerhaften Entscheidung aus. Die entspre-
chende Wahrscheinlichkeit p f
σ
p σ t ( i ))
multipliziert, dass das Bit in vorhergehenden Entscheidungen richtig entschie-
den wurde.
Am Dekodierungsende erhält man die „geschätzten“ Wahrscheinlichkeiten
σ
t +1 ) wird mit der Wahrscheinlichkeit (1
p ( i )
für eine fehlerhafte Entscheidung der geschätzten Informationsbits
u ( i ) ( i =
0 , 1 , ..., l − 1 ) aus der Rückverfolgung der wahrscheinlichsten Kanalkodefolge.
Die Zuverlässigkeit für das geschätzte Bit
u ( i ) leitet sich dann wie folgt ab:
L ( u ( i )) = ln 1
p ( i )
.
(8.60)
p ( i )
Im Weiteren hat man versucht, diese Berechnung zu vereinfachen, zumal die
Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten kleine und damit auch ungenaue Wer-
te liefert. Durch die Einführung der Log-Likelihood-Algebra [HAG 94] 30 kann
die Berechnung direkt über Zuverlässigkeiten erfolgen. Es entfällt damit die Be-
rechnung der Wahrscheinlichkeit einer fehlerhaften Entscheidung (Gl. (8.58)).
29 Statistische Unabhängigkeit zwischen p t +1 ( i ) und p f t +1 ) wird vorausgesetzt. Diese ist
für die meisten praktischen Kodes gegeben.
30 Log-Likelihood-Algebra ( L -Algebra) für eine binäre Zufallsvariable x ∈{ +1 , − 1 } :
P ( x = +1)
P ( x = 1)
L ( x )=ln
.
Das Vorzeichen von L ( x )
bestimmt die harte Entscheidung, der Betrag von
|L ( x ) |
gibt die
Zuverlässigkeit dieser Entscheidung an.
Der L -Wert für statistisch unabhängige Zufallsvariablen x 1 und x 2 ist definiert mit:
L ( x 1 ⊕x 2 )=ln 1+ e L ( x 1 ) e L ( x 2 )
e L ( x 1 ) + e L ( x 2 ) sign L ( x 1 ) sign L ( x 2 )min {|L ( x 1 ) |, |L ( x 2 ) |} .
(8.61)
Die Zuverlässigkeit der Modulo-2-Addition ist durch die Variable mit der geringeren Zu-
verlässigkeit bestimmt. Der Approximationsfehler ist am größten, wenn die Beträge |L ( x 1 ) |
und |L ( x 2 ) | gleich sind.
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