Cryptography Reference
In-Depth Information
rekturverhalten
f
n
und auch die Möglichkeit der Kodeerweiterung sind Grün-
de für die Anwendungsbreite von GOLAY-Kodes (Radio-, Telefonkanal, fragile
Wasserzeichen).
Der Suchalgorithmus beschränkt sich nicht auf die Korrektur eines GOLAY-
Kodes, auch nicht auf nichtprimitive oder nur dichtgepackte Kodes. Die Leis-
tungsfähigkeit ausgewählter Kodes sollte allerdings
f
k
=3
nicht überschreiten.
Darüber hinaus bedarf es weiterer Voreinstellungen von Bits.
8.5.6
Aufgaben
Abschn. 8.5.1:
Modularpolynom, Erweiterungskörper, Minimalpolynome
1. Prüfen Sie, ob die Polynome
P
1
(
x
4
+
x
2
+1
x
)=
,
x
4
+
x
3
+
P
2
(
x
)=
x
+1
,
P
3
(
x
)=
x
4
+
x
3
+1
,
P
4
(
x
4
+1
x
)=
,
x
4
+
x
3
+
x
2
+
+1
irreduzibel oder sogar primitiv sind!
2. Bestimmen Sie für
M
P
5
(
x
)=
x
x
8
+
x
5
+
x
4
+
x
3
+1
(
x
)=
mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung
die realisierbare Kodewortlänge
n
!
3. Stellen Sie für
M
x
6
+
x
3
+1
k
1
(
x
)=
den Erweiterungskörper
GF
(2
)
auf und
berechnen Sie die Minimalpolynome
m
1
(
x
)
und
m
3
(
x
)
! Geben Sie das Hauptpo-
lynom
f
(
x
)
als Produkt der Minimalpolynome an!
Abschn. 8.5.2:
Kodierung und Fehlererkennung
1. Die 6stelligen Kanalkodewörter eines verkürzten Kodes werden durch das Gene-
ratorpolynom
g
(
x
)=
x
3
+
x
+1
erzeugt. Das Kanalkodewort
a
= (011101)
wird zyklisch verschoben. Ist die entstandene Binärfolge
(101110)
ebenfalls ein
Kanalkodewort? Wieviel Kanalkodewörter sind im Kode definiert?
2. Das Generatorpolynom eines zyklischen
x
4
+
x
2
+
(7
,
3)
Kanalkodes ist
g
(
x
)=
x
+1
.
Bestimmen Sie die Kanalkodewörter dieses Kanalkodes
a) durch Multiplikation,
b) durch Division!
Vergleichen Sie die Ergebnisse! Woran erkennt man die systematische Eigenschaft?
3. Die folgenden Kanalkodewörter wurden durch Multiplikation mit dem Generator-
polynom
g
x
4
+
(
x
)=
x
+1
gebildet. Geben Sie die dazugehörigen Quellenkode-
wörter aus
A
∗
an!
a)
a
1
=(110100010100111)
b)
a
2
=(010101011111011)
c)
a
3
=(100101110000011)
