Kanalkodierung - Informations-und Kodierungstheorie - page 188

Beispiel 8.5.21
Gegeben sei ein RS-Kode über GF (2 3 ) /x 3 + x +1 mit f k =1 (Grundkörper s.
Beispiel 8.5.16). Der Kanaldekodierer empfängt die Folge 23 b =( α 5 α 5 0 α 0 α 5 0 α 5 )
mit dem Auslöschungsvektor U =( x 1 ,x 2 )=( α 1 ,α 4 ) .
Lösung:
0. Prüfung entfällt, da U gegeben
1. s 1 =0 ,s 2 = α 5
4. s 1 = y 1 x 1 + y 2 x 2
s 2 = y 1 x 1 + y 2 x 2

0= α 1 y 1 + α 4 y 2
α 5 = α 2 y 1 + αy 2
−→ y 1 = α 2 ,y 2 = α 6
e ( x )= α 6 x 4 + α 2 x bzw. e =(00 α 6 00 α 2 0)
b korr = b + e =( α 5 α 5 α 6 α 0 α 5 α 2 α 5 ) .

Je nach Anwendungsfall kann sich die Berücksichtigung von nur Auslöschungs-
stellen auch nachteilig auf die Rekonstruktion auswirken. Untersuchungen zei-
gen, dass die Anzahl falscher Korrekturen mit der Anzahl von Auslöschungen
wächst. Es sollte daher auch die Möglichkeit eingeräumt werden, bei weniger
Auslöschungsstellen noch vorhandene (zufällige) Fehler zu korrigieren [error-
and-erasure decoding]. Begrenzt wird diese Möglichkeit durch den Minimal-
abstand d min . Wie bekannt, können ρ ≤ d min − 1 Auslöschungsstellen oder
ν ≤

d min − 1

zufällige Fehler korrigiert werden. Für die Korrektur über Aus-
löschungsstellen hinaus heißt das für ν :

2

d min − 1 − .

ρ

2 ν + ρ ≤ d min − 1 −→ ν ≤ (8.43)

2

Eine Realisierung ermöglichen sowohl der BM- als auch der EUKLID-Algorith-
mus (s. Abschn. 8.5.5.4). Aus dem berechneten Lokatorpolynom werden im 3.
Bearbeitungsschritt die Fehlerstellen der zufälligen Fehler ermittelt.
Das Problem der Auslöschung gewinnt mit den adaptiven Übertragungsver-
fahren weiter an Bedeutung. Noch nicht gesendete redundante Stellen (zur
Erhöhung der Koderate) werden als Auslöschungsstellen betrachtet. Ist keine
Fehlerkorrektur möglich, werden nur weitere, bisher fehlende, redundante Stel-
len übertragen. Die Fehlerkorrektur läuft wiederholt ab.
Die Vorteile der Kenntnis von Fehlerstellen werden auch bei der Anwendung
durch Kodeverkettung genutzt (s. Beispiele in Abschn. 8.7.1). In parallelen
Speichersystemen wie RAID-6 nutzt man diese Eigenschaft zur Wiederherstel-
lung fehlender Bereiche.

23 Die Auslöschungsstellen werden durch ein beliebiges Element aus dem Grundkörper ersetzt
(RS-Kode: GF (2 k 1 ) ,BCH-Kode: GF (2) ), gewöhnlich durch das Nullelement.