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8.5.5.2 Fehlerkorrektur von RS-Kodes
Die Fehlerkorrektur von RS-Kodes erfordert zunächst auch die Ausführung der
Bearbeitungsschritte 1. - 3. (s. Abschn. 8.5.5.1). Die nichtbinäre Eigenschaft
dieser Kodes führt zu einem weiteren Bearbeitungsschritt:
4. Berechnung des Fehlerwertes jeder Fehlerstelle
An den Fehlerstellen exp( x i ) im Fehlerpolynom e ( x ) sind die Fehlerwerte y i
zu berechnen. Im binären Fall (BCH-Kodes) sind die Fehlerwerte y i =1 .Für
den nichtbinären Fall, wie bei den RS-Kodes, sind die Fehlerwerte y i über den
bereits bekannten Zusammenhang (Gl. (8.38), hier für y i
k 1
GF (2
) )
ν
y i x i
s j =
( j =1 , 2 , ..., ν
f k )
(8.41)
i =1
zu bestimmen.
(Diese recht anschauliche Berechnung ist nur e zient und praktikabel für kleine
Werte von f k . Sie stellt eine Alternative zum FORNEY-Algorithmus dar, u. a.
[BOS 98].)
Mit dem Fehlerpolynom
e ( x )= y ν x exp( x ν ) + y ν− 1 x exp( x ν− 1 ) + ... + y 1 x exp( x 1 )
kann das Empfangspolynom mit b korr ( x )= b ( x )+ e ( x ) korrigiert werden.
Beispiel 8.5.20
Gegeben sei ein RS-Kode über GF (2 3 ) /x 3 + x +1 mit d min =3 .
Das Kodepolynom a ( x )= α 5 x 6 + α 5 x 5 + α 6 x 4 + α 0 x 3 + α 5 x 2 + α 2 x + α 5 wird
nach einer gestörten Übertragung als b ( x )= α 5 x 6 + α 3 x 5 + α 6 x 4 + α 0 x 3 +
α 5 x 2 + α 2 x + α 5 empfangen. Dieses Empfangspolynom ist zu korrigieren.
Lösung:
0. b/
A
1. s 1 = b ( x = α 1 )= α 4 + α + α 3 + α 3 +1+ α 3 + α 5 =1 ,
s 2 = b ( x = α 2 )= α 3 + α 6 +1+ α 6 + α 2 + α 4 + α 5 = α 5 .
2. s 1 σ 1 = s 2 −→
α 5
1 = α 5
σ ( x )= x + σ 1 = x + α 5 =( x + x 1 )
3. x 1 = α 5
e ( x )= y 1 x 5
4. s 1 = y 1 x 1 −→
σ 1 =
α 0
y 1 =
α 5 = α 2
e ( x )= α 2 x 5
b korr ( x )= b ( x )+ e ( x )= a ( x ) ,a =( α 5 α 5 α 6 α 0 α 5 α 2 α 5 ) .
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