Kanalkodierung - Informations-und Kodierungstheorie - page 179

Beispiel 8.5.16
Es ist ein RS-Kode mit einem Minimalabstand von d min =5 auf der Basis des
primitiven Modularpolynoms M ( x )= x 3 + x +1 über GF (2 3 ) zu beschreiben
( g ( x ) und Kodeparameter).
Für das Quellenkodewort a ∗ =( α 2 α 6 α 5 ) ist das Kanalkodewort a zu bestim-
men. Dabei ist das Divisionsverfahren anzuwenden (s. Abschn. 8.5.2.3).
Lösung:
M ( x ) bestimmt n =2 3 − 1=7 .Aus d min und Gl. (8.34), erfüllt mit Gleichheit,
ist k =4 und damit l =3 . Es ist somit ein (7 , 3 , 5) RS-Kode gegeben.
Die Kodierung des Quellenkodeworts erfordert zunächst die Bildung des Ge-
neratorpolynoms. Der Grundkörper GF (2 3 ) für das Modularpolynom M ( x )=
x 3 + x +1 ist bekannt:
Elemente von GF (2 3 ) als
Potenzen von α Polynomreste Polynomkoe zienten
0 0 000

1 1 001

α 1 α 010

α 2 α 2 100

α 3 α +1 011

α 4 α 2 + α 110

α 5 α 2 + α +1 111

α 6 α 2 +1 101

Das Generatorpolynom ergibt sich nach Gl. (8.33):

i =1 ( x + α i

1+5 − 2

)=( x + α )( x + α 2 )( x + α 3 )( x + α 4 ) g ( x )=

= x 4 + α 3 x 3 + x 2 + αx + α 3 .
Die Kodierung gestaltet sich dann wie folgt:
a ∗ ( x ) x k =( α 2 x 2 + α 6 x + α 5 ) x 4 = α 2 x 6 + α 6 x 5 + α 5 x 4 .

Die Division durch g ( x ) berechnet r ( x ) :
( α 2 x 6 + α 6 x 5 + α 5 x 4 ):( x 4 + α 3 x 3 + x 2 + αx + α 3 )= α 2 x 2 + αx + α 6
α 2 x 6 + α 5 x 5 + α 2 x 4 + α 3 x 3 + α 5 x 2
αx 5 + α 3 x 4 + α 3 x 3 + α 5 x 2
αx 5 + α 4 x 4 + αx 3 + α 2 x 2 + α 4 x
α 6 x 4 + x 3 + α 3 x 2 + α 4 x
α 6 x 4 + α 2 x 3 + α 6 x 2 + x + α 2
α 6 x 3 + α 4 x 2 + α 5 x + α 2 = r ( x ) .