Cryptography Reference
In-Depth Information
l
=12
Informationsstellen ergibt sich ein verkürzter
(24
,
12
,
5)
BCH-Kode. Bei
gleicher Leistungsfähigkeit weist dieser Kode eine schlechtere Koderate auf.
Auch mit einem primitiven Modularpolynom vom Grad
k
1
=5
lässt sich „nur“
ein verkürzter
(22
,
12
,
5)
BCH-Kode konstruieren.
Die Beispiele zeigen: nichtprimitive BCH-Kodes besitzen teilweise bessere Ei-
genschaften (weniger redundante Stellen) als verkürzte primitive BCH-Kodes.
Der bekannteste nichtprimitive BCH-Kode ist der
GOLAY-Kode
. Das Modu-
larpolynom ist das nichtprimitive Polynom
m
1
(
x
)=
m
89
(
x
)
im
GF
(2
11
)
.Mit
p
89
=
2047
ggT
(2047
,
89)
=23
ergibt sich die Kodewortlänge von
n
=
p
89
=23
.Das
Generatorpolynom ist das Modularpolynom mit
g
(
x
)=
m
1
(
x
)=
m
89
(
x
)=
x
11
+
x
9
+
x
7
+
x
6
+
x
5
+
x
+1
. Nach Aufstellen der
β
1
-Folge erhält man einen
vermeintlichen Minimalabstand von
d
min
=5
. Die Untersuchung der Gewichts-
verteilung des Kodes (
w
(
g
)
lässt schon darauf schließen) zeigt einen tatsäch-
lichen Abstand von
d
min
=7
. Es liegt ein (23,12,7)GOLAY-Kode vor. Auch
das Polynom
m
445
(
x
)
im
GF
(2
11
)
erfüllt die beschriebenen Zusammenhänge.
m
445
= (110001110101)
ist die bitrückwärts [bit-reversed] gelesene Koe
zien-
tenfolge von
m
89
= (101011100011)
.
18
Es sei an dieser Stelle auch erwähnt, dass neben den HAMMING-Kodes und
Wiederholungskodes ungerader Länge nur noch der GOLAY-Kode die Eigen-
schaft besitzt, auch dichtgepackt zu sein (s. Abschn. 8.1.3).
8.5.3.3 Verkürzte und erweiterte BCH-Kodes
Ein Kanalkode heißt
verkürzt
, wenn die Kodewortlänge
n
kleiner als die
Ordnung
p
des Elements
α
des Erweiterungskörpers ist. Dieser Kode verliert
seine zyklische Eigenschaft. Seine Eigenschaften bzgl. der Fehlererkennung
und Korrektur bleiben jedoch erhalten.
Eine Verkürzung ist nur in den Informationsstellen möglich. Eine Reduzie-
rung der redundanten Stellen würde die Fehlererkennungs- und Korrekturei-
genschaften verändern. Anwendungen finden sich in den Beispielen 8.5.11 und
8.5.14.
Ein Kanalkode heißt
erweitert
, wenn entweder dem Generatorpolynom das
Minimalpolynom
m
0
(
x
)
oder dem Kode eine zusätzliche Paritätsstelle hinzu-
gefügt wird. Die Fehlererkennungseigenschaft verbessert sich.
Die Besonderheit von
m
0
(
x
)
soll zunächst folgendes Beispiel deutlich machen.
18
Bit-reversed Polynome haben die gleiche Eigenschaft. Hat das Polynom
m
i
(
x
)
die Null-
stellen
α
2
j
−
1
i
mod
(2
k
1
−
1)
(
j
=1
,
2
, ..., k
1
(=
(vergleiche mit Gl. (8.28)), so hat
das bitrückwärts gelesene Polynom die Nullstellen
α
−
(2
j
−
1
i
)
mod
(2
k
1
−
1)
(
j
=1
,
2
, ..., k
1
)
.
grad
M
(
x
)))
